Представь, что у тебя есть волшебная лупа, которая может увеличивать картинку бесконечно. Ты смотришь на ветку дерева, а потом приближаешь её — и видишь, что на самой ветке есть маленькие веточки, точь-в-точь как она. Приближаешь ещё — и там ещё меньшие веточки, и так до бесконечности. Это и есть фрактал — фигура, которая повторяет сама себя в любом масштабе. Если отломить от неё кусочек, он будет похож на целое, как капля воды на океан.
Фракталы окружают нас повсюду, хотя мы редко обращаем на них внимание. Например, снежинка — идеальный пример. Каждый её луч делится на более мелкие лучики, те — на ещё меньшие, и даже под микроскопом ты увидишь те же узоры. Или посмотри на молнию: она бьёт из тучи, разветвляясь на десятки «зубцов», и каждый зубчик — миниатюрная копия всей молнии. Даже обычная морская ракушка растёт по фрактальному закону — её спираль раскручивается, повторяя одну и ту же форму снова и снова.
Математики создают фракталы с помощью простых правил, которые повторяют много раз. Один из самых известных — снежинка Коха. Её можно нарисовать даже на бумаге. Начни с обычного треугольника. Потом раздели каждую его сторону на три части, среднюю часть преврати в новый маленький треугольник. Повтори это для каждой новой линии — и твоя снежинка обрастёт «шипами». Если продолжать бесконечно, получится фигура с бесконечной длиной границы, но конечной площадью! Это как если бы ты обматывал верёвкой апельсин, и с каждым витком верёвка становилась всё длиннее, но сам апельсин не увеличивался.
Фракталы не просто красивы — они очень полезны. Например, в компьютерных играх с их помощью рисуют горы, облака и леса. Раньше художникам приходилось вручную создавать каждую деталь, а теперь программа, используя фрактальные алгоритмы, генерирует бесконечные уникальные миры за секунды. В фильмах вроде «Аватара» или «Хоббита» фракталы превращаются в летящий пепел вулканов, бурлящие реки и даже космические туманности.
Даже наши лёгкие устроены как фрактал: миллионы пузырьков-альвеол разветвляются, чтобы захватить как можно больше кислорода.
Интересно, что фракталы могут измерять то, что нельзя измерить линейкой. Например, береговая линия. Если попытаться посчитать её длину, окажется, что каждый заливчик содержит бухточки, те — ещё меньшие углубления, и так до бесконечности. Получается, длина берега зависит от того, насколько близко ты рассматриваешь детали! Поэтому математики придумали фрактальную размерность — число, которое показывает, насколько «изрезан» объект. У гладкой линии размерность 1, у плоскости — 2, а у фрактальной снежинки Коха — около 1,26.
Фракталы учат нас, что в хаосе есть порядок. Галактики расположены не случайно, а образуют гигантскую паутину, чьи нити повторяют фрактальные структуры (тут ещё есть связь с числами Фибоначчи и золотым сечением, о которых я уже писал — это всё взаимосвязано). В музыке тоже можно встретить фрактальные мелодии, которые кажутся случайными, но подчиняются строгим правилам.
Фракталы можно создать и самостоятельно. Откройте на компьютере любой генератор фракталов в интернете и введите формулу вроде Z = Z² + C — и наблюдайте, как из чисел рождаются целые вселенные.
Если стало понятно, подписывайся на мой Телеграм, а ниже я подобрал ещё несколько статей, которые должны кое-что прояснить: