Апокрифическое безумие

Свидетели некоторых событий, по прошествии времени, часто самостоятельно додумывают детали, которые не успели запомнить достоверно.

Опытные следователи знают, что не всегда можно доверять свидетелям. Именно потому, что им может казаться, что они были очевидцами того, чего на самом деле не было, но они себя сами в этом убедили...Непосредственный свидетель происшествия зачастую излагает вовсе не события как они имели место быть, а собственную интерпретацию событий, имеющую довольно отдаленное отношение к реальности. И чтобы вытащить из этого свидетеля информацию о том, что же случилось на самом деле, нужно еще знать, как подойти, какой вопрос задать и как проинтерпретировать полученные сведения. Это относится не только к криминальным делам, но и ко многим другим сферам жизни. К лингвистике - в частности...

Парадоксами в древней Греции называли победителей в олимпийских состязаниях певцов и исполнителей инструментальной музыки.

Сет. Зет. Сеф(ирот)- сеф ироты » заимствовано из Каббалы, его первоначальное значение — одна из божественных эманаций. "ей" не только обогащает языковое выражение, но и улучшает понимание и взаимодействие между людьми. Это особенно важно в многоязычном и многокультурном мире. «Йе» слово, часто встречающееся в Библии и означающее «ты».

(Тес)е́й(Сет), (Фес)ей(Сеф) или (Тез)е́й(Зет) (др.-греч. Θησεύς, лат. Theseus) — персонаж греческой мифологии, центральная фигура аттического мифологического цикла. Трезенская царевна Эфра из рода Пелопидов родила Тесея сразу от двух отцов — земного (царя Афин Эгея) и божественного (морского бога Посейдона).происхождение Тесея было весьма необычным. Через земного отца он был потомком чудовищ, полулюдей-полузмей; сам Тесей как сын земной женщины и бога принадлежал к племени героев и боролся с чудовищами, но при этом его божественный отец Посейдон — наиболее дикий и хтоничный из олимпийцев.

Нейро

На основе 2 источников

Сефирот — одно из фундаментальных понятий в каббале, созданное автором книги «Сефер Йецира». Изначально — это десять первичных или идеальных «цифр», позже стали означать десять стадий эманации, происходящих из Эйн соф и образующих царство проявления Бога.2

Древо Сефирот представляет собой процесс дифференциации изначального света. Древо сефирот состоит из 10 сефир, а 10 сефир — это 10 источников света. Во всех каббалистических системах в связи с Эйн-соф повсеместно ис-пользуется символика света, хотя и подчеркивается, что свет в данном случае – лишь метафора; в поздней каббале часто проводят различение между самим Эйн-соф и «светом Эйн-Соф» (ор ѓа-эйн-соф)...

Сет

ПАРАДОКС (от др.-греч. - неожиданный, странный, от др.-греч. - против, вопреки и др.-греч. - мнение, представление, предположение) — в широком смысле высказывание, мнение, рассуждение, которое расходится с общепринятым мнением и кажется нелогичным, или противоречащим здравому смыслу (зачастую лишь при поверхностном понимании).
В логике парадоксом называют формально-логические противоречия, которые возникают при сохранении логической правильности рассуждения. Парадокс возникает, когда два взаимоисключающих (противоречащих) суждения оказываются в равной мере доказуемыми.
ЛОГИЧЕСКИЙ ПАРАДОКС - противоречие, имеющее статус логически корректного вывода и, вместе с тем, представляющее собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям. Логическая ошибка парадокса объясняется неверным выбором логических посылок, например, когда речь идет о предметах, не имеющих четкого определения (См. стрела Зенона).  ПАРАДОКС В ЛОГИКЕ — это противоречие, имеющее статус логически корректного вывода и, вместе с тем, представляющее собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям. Логическая ошибка парадокса в отличие от паралогизма и софизма не обнаружена пока из-за несовершенства существующих методов логики.
    Различаются такие разновидности логических парадоксов, как АПОРИЯ и АНТИНОМИЯ.

АПОРИЯ характеризуется наличием аргумента, противоречащего очевидному, общепринятому мнению, здравому смыслу.
Следует научиться отличать парадокс от апории. Если первое – это нелогичная правда, то второе – логичная выдумка.

АНТИНОМИЯ - наличием двух противоречащих друг другу, одинаково доказуемых суждений.
   Родоначальник немецкой классической философии Иммануил Кант впервые показал, что антиномии с необходимостью порождаются особенностями процесса познания, в частности постоянными попытками разума выйти за пределы опыта, познать «вещь в себе», а поскольку, по Канту, это невозможно, всякий такой выход и приводит к антиномии.
   Кант использовал понятие «антиномия» для оправдания основного тезиса своей философии, согласно которому разум не может выйти за пределы чувственного опыта и познать «вещи в себе» (Ding an sich, буквально — вещь сама по себе). По учению Канта, такого рода попытки приводят разум к противоречиям, так как делают возможным обоснование как утверждения (тезиса), так и отрицания (антитезиса) каждой из следующих «антиномий чистого разума»:
   Мир конечен — мир бесконечен.
   Каждая сложная субстанция состоит из простых частей — не существует ничего простого.
   В мире существует свобода - в мире не существует свободы, но господствует только причинность.
  Так как антиномия в данном случае состоит в том, что можно привести одинаково убедительные доказательства в пользу как утвердительного, так и отрицательного ответа на эти вопросы, то разрешение антиномии необходимо приводит к выводу, что человеческое познание в последних встречает преграду, которой ни перешагнуть, ни победить не может.
   По Канту, мы знаем о пространстве, времени, материи, причине и т. д. только как о явлениях (феноменах), но ничего не знаем: каковы вещи-в-себе (ноумены). Поэтому мы должны отказаться от догматического изучения этих вопросов; идея абсолютного и бесконечного имеет только значение регулирующего принципа, то есть она сама не служит источником расширения знания, а только руководящею нитью для всё более и более прогрессирующего расширения знания. Помимо антиномий чистого разума, Кант сформулировал ряд принципиальных антиномий морального, религиозного и эстетического сознания.
    Гегель отметил важность значения кантовских антиномий, поскольку они отражают диалектический характер его взглядов. Антиномии, или противоречия, по его утверждению, существуют «во всех предметах всякого рода, во всех представлениях, понятиях и идеях».
   АНТИНОМИИ подразделяют на ЛОГИЧЕСКИЕ и СЕМАНТИЧЕСКИЕ.
Антиномии возникают не вследствие субъективной ошибки, но связаны с диалектичностью процесса познания. Традиция антиномического мышления связана также с христианской богословской традицией, в которой непостижимость основных догматических положений часто формулируется в виде антиномий (П. Абеляр, П. А. Флоренский, А. Ф. Лосев и др.).

ВИДЫ АПОРИЙ.

    ПАРАДОКС ЛЖЕЦА. Если он говорит «Я сейчас вру», то это не может быть ни ложью, ни правдой.     Парадокс лжеца — семейство логических парадоксов, классический вариант которого гласит: «Я лгу», или, более точно: «Данное утверждение ложно». Если предположить, что утверждение истинно, то, поскольку оно гласит свою ложность, оно ложно, что является противоречием. Напротив, если предположить его ложность, то оно соответствует тому, что само гласит, а потому истинно, что также является противоречием. Подобные парадоксу лжеца утверждения часто использовались на протяжении истории философии: он был известен древним грекам и использовался как головоломка средневековыми логиками, а также стал основополагающим объектом исследования современной логики.
   ПАРАДОКС НЕОЖИДАННОЙ КАЗНИ: приговоренному к смерти пообещали, что его повесят неожиданно в полдень на следующей неделе в будний день. Осужденный стал рассуждать: в пятницу меня не повесят, так как это не будет неожиданностью, ибо после наступления четверга останется только пятница. В четверг же его тоже не смогут казнить, так как после среды это тоже не будет неожиданностью. Таким образом, он исключил все дни недели и пришел к выводу, что повешение не состоится. На этом человек успокоился, но в среду ровно в полдень к нему пришел палач, что было очень неожиданно. Предсказание судьи сбылось.
   ПАРАДОКС КУЧИ — логический парадокс, сформулированный Евбулидом из Милета (IV век до н. э.), связанный с неопределённостью предиката «быть кучей». Формулировка парадокса основана на базисной предпосылке, согласно которой одно зёрнышко не образует кучи, и индуктивной предпосылке, по которой добавление одного зёрнышка к совокупности, кучей не являющейся, несущественно для образования кучи. При принятии этих предпосылок никакая совокупность из сколь угодно большого количества зёрен не будет образовывать кучи, что противоречит представлению о существовании кучи из зёрен. Парадокс используется как одно из обоснований рассмотрения нечёткой логики.
Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится; поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится во все моменты времени, то есть не существует момента времени, в котором стрела совершает движение.  Эта апория направлена против представления о непрерывной величине как о сумме бесконечного числа неделимых частиц (точек пространства или моментов времени). Она также затрагивает глубокий и нерешённый в физике вопрос о природе времени и тем самым стимулировала многовековую дискуссию на эту тему, не завершённую до наших дней.
Иногда утверждают, что с помощью этой и других апорий Зенон доказывал невозможность движения. На самом деле элеаты отрицали не движение, а его мыслимость, то есть, на современном языке, соответствие бытия и его научных моделей, которые, по мнению элеатов, невозможны без противоречий - в то время как рационально-логический подход позволяет этих противоречий избежать.
    По мнению большинства комментаторов, цель апорий — показать, что наше (математическое) представление о движении противоречиво. Вероятно, поэтому элеатов в древности называли афизиками, то есть противниками науки о природе.
Одно из возможных объяснений апории: в природе нет физического аналога математическим понятиям точки пространства и момента времени.
    ПАРАДОКС СОРИТА: допустим, песочная куча состоит из миллиона песчинок. Если убрать одну из них, куча останется кучей. После изъятия второй песчинки куча все равно не потеряет свой статус. А что будет, когда останется последняя песчинка? По идее куча – уже не куча.  Чтобы утверждение было логичным, необходимо либо изначально лишить миллион песчинок статуса кучи, либо назвать ею одну песчинку.
   КВАНТОВЫЙ ПАРАДОКС ЗЕНОНА - квантовый эффект Зенона - метрологический парадокс квантовой механики, заключающийся в том, что время распада метастабильного квантового состояния некоторой системы с дискретным энергетическим спектром прямо зависит от частоты событий измерения её состояния. В предельном случае нестабильная частица в условиях частого наблюдения за ней никогда не может распасться.   
Впервые эффект предсказан в 1954 году Аланом Тьюрингом, позже, в 1957 году, советским физиком Леонидом Халфиным.

ПАРАДОКСЫ В НАУКЕ.
  Современные науки, использующие логику в качестве инструмента познания, нередко наталкиваются на теоретические противоречия либо на противоречия следствий из теории с вербализованными результатами опыта, эксперимента. Это бывает обусловлено логическими ошибками в построении суждений, несовершенством существующих в настоящее время научных методов или недостаточной точностью используемых в опытах инструментов, а также неадекватностью принятой идеализации, то есть неверной аксиоматизацией теорий.
   НАЛИЧИЕ ПАРАДОКСА СТИМУЛИРУЕТ к новым исследованиям, более глубокому осмыслению теории, её «очевидных» постулатов и нередко приводит к полному её пересмотру.
   Примерами парадоксов в науке могут служить ПАРАДОКС РАССЕЛА, ПАРАДОКС БАНАХА - ТАРСКОГО, ПАРАДОКС СМЕЙЛА, ПАРАДОКС ХАУСДОРФА, ЭПР-ПАРАДОКС, КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ - затруднения (противоречия), возникающие при распространении законов физики на Вселенную в целом или достаточно большие её области.
    ФОТОМЕТРИЧЕСКИЙ ПАРАДОКС (ПАРАДОКС ШЕЗО — ОЛЬБЕРСА, название по имени швейцарского астронома Ж. Шезо, 1744, и немецкого астронома Г. В. Ольберса, 1826) состоит в том, что классическая физика затрудняется объяснить, почему ночью темно: если повсюду в бесконечном пространстве стационарной Вселенной (или хотя бы в достаточно большой её области) имеются излучающие звёзды, то в любом направлении на луче зрения должна оказаться какая-нибудь звезда и вся поверхность неба должна представляться ослепительно яркой, подобной, например, поверхности Солнца. Это противоречие с тем, что наблюдается в действительности, и называлось фотометрическим парадоксом. Парадокс решается при учёте конечного возраста Вселенной, благодаря которому (вследствие конечности скорости света) доступная наблюдениям часть Вселенной ограничена горизонтом частиц.
    ГРАВИТАЦИОННЫЙ ПАРАДОКС (ПАРАДОКС НЕЙМАНА - ЗЕЛИГЕРА, название по имени немецких учёных К. Неймана и Х. Зелигера, XIX в.) имеет менее очевидный характер и состоит в том, что закон всемирного тяготения Ньютона не даёт какого-либо разумного ответа на вопрос о гравитационном поле, создаваемом бесконечной системой масс (если только не делать очень специальных предположений о характере пространственного распределения этих масс).  Для космологических масштабов ответ даёт теория А. Эйнштейна, в которой закон всемирного тяготения уточняется для случая очень сильных и бесконечных гравитационных полей.
   Другие парадоксы: при распространении на Вселенную второго начала термодинамики (без учёта гравитации) в прошлом (Р. Клаузиусом в 1865 г.) делался вывод о необходимости тепловой смерти Вселенной. Возраст Метагалактики в теории нестационарной Вселенной до 1950-х гг. оказывался меньше возраста Земли.
    ПАРАДОКС ЛОГИЧЕСКИЙ – рассуждение либо высказывание, в котором, пользуясь средствами, не выходящими (по видимости) за рамки логики, и посылками, которые кажутся заведомо приемлемыми, приходят к заведомо неприемлемому результату. Ввиду того, что парадоксы обнажают скрытые концептуальные противоречия и переводят их в прямые и открытые, они, согласно законам творческого мышления, помогают при развитии новых идей и концепций.
Английский логик Рамсей предложил отличать ЛОГИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ от ПАРАДОКСОВ СЕМАНТИЧЕСКИХ, основанных не только на логике, но и на конкретной интерпретации понятий. Многие (причем самые принципиальные) парадоксы находятся на стыке данных двух групп. Таковы, напр., известный с эпохи античности ПАРАДОКС «ЛЖЕЦ».
   Критический шаг логического рассуждения, применяющегося в знаменитом ПАРАДОКСЕ КАНТОРА о множестве всех множеств, имеет ту же логическую форму.
    Более тонко выявлена крайняя опасность автореференции (предложений, ссылающихся на самих себя) в ПАРАДОКСЕ КАРРИ («Если это утверждение верно, то русалки существуют»), выявляющем глубинные логические корни, в частности парадоксов лжеца и Рассела. «Пусть A – произвольное высказывание. Пусть B – высказывание «Если B, то A». Допустим B. Тогда B = A. Значит, из B следует A в силу правила дедукции, и B доказано без всяких допущений. Но тогда доказано и A».
Таким образом, Карри показал, что обычная импликация в любой системе с автореференцией позволяет вывести любое предложение, что является грубой формой противоречия (противоречивость по Карри.)
     ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ О НЕПОЛНОТЕ доказывается при помощи построения, по сути дела являющегося одним из ПАРАДОКСОВ АВТОРЕФЕРЕНЦИИ. А именно, строится формула, утверждающая свою собственную недоказуемость. Она не может быть доказана, потому что тогда мы получили бы прямое противоречие, она не может быть и опровергнута, потому что тогда мы получили бы доказательство ее недоказуемости и, следовательно, ее обоснование.
    НОВЫЙ КЛАСС ЛОГИЧЕСКИХ ПАРАДОКСОВ, также лежащий на грани с семантическими, поскольку используется понятие определимости, был открыт Берри, который ввел в рассмотрение сложность объекта.
ПАРАДОКС БЕРРИ: Фраза «наименьшее число, которое нельзя описать менее, чем десятью словами» описывает это число девятью словами.
Предложений, содержащих менее ста букв, конечное число. Поэтому с их помощью можно определить лишь конечное число натуральных чисел. Поэтому есть наименьшее число n0, не определимое таким способом. Но тогда фраза «Наименьшее число, не определимое при помощи предложения, содержащего менее ста символов» содержит менее ста символов и определяет n0.
Конструкция Парадокса Берри интенсивно используется в современной теории сложности вычислений для доказательства трудности решения задач. Она практически сводится к общенаучному принципу, что система может быть полностью познана лишь системой, на порядок более сложной.
   Примером НЕРЕФЛЕКСИВНОГО ЛОГИЧЕСКОГО ПАРАДОКСА является следующий парадокс:
«Необходимо, что 9 больше 7. Число больших планет – 9. Значит, необходимо, что число больших планет больше семи».
Данный парадокс также лежит на грани между семантическими и логическими. Конструкция данного парадокса использована в доказательстве теоремы Райса о неразрешимости нетривиальных свойств вычислимых функций (единственные свойства вычислимых функций, которые могут определяться программой – тождественно истинное и тождественно ложное) и теоремы о невозможности нетривиальных точных предсказателей, т.е. оракулы, которые не ошибаются, говорят либо только одну истину, либо одну ложь.
Этот парадокс сыграл громадную стимулирующую роль при разработке тонких вопросов модальной логики с равенством. Ту же логическую структуру при формализации приобретает и известный парадокс утренней звезды, относящийся к семантическим.
Как ЛОГИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ часто трактуются ЗАКОНЫ МАТЕРИАЛЬНОЙ ИМПЛИКАЦИИ – «из лжи следует все, что угодно», и «истина следует из всего, что угодно», поскольку они позволяют получить формулы A ; B, в которых A и B никак не связаны по смыслу.

ПАРАДОКС ЛОГИЧЕСКОГО ВСЕВЕДЕНИЯ:
Если мы знаем A и A ; B, то мы знаем В. Следовательно, мы знаем все следствия наших знаний, и в частности все логические тавтологии, что невозможно, поскольку их множество бесконечно (а для языка логики предикатов даже неразрешимо).
Эти аномалии явились стимулом для развития модальных, паранепротиворечивых, эпистемических и релевантных логик, в которых данные парадоксы частично преодолеваются. На самом деле полностью преодолеть их невозможно, поскольку любая успешная формализация является сильным огрублением.

КЛАСС ПАРАДОКСов, возникающих на границе логики и математики, основан на применении точных методов к неточным понятиям.
   «Человек, у которого на голове нет ни одного волоса – лыс. Если у лысого вырастет еще один волосок, он останется лысым. Значит, все люди лысые».
Рассуждение, примененное в данном парадоксе (опять-таки восходящее к античности), интенсивно используется при развитии ультраинтуиционистской математики, имеющей дело с процессами, завершимыми в реальное время. Оно отграничивает реально осуществимые объекты от потенциально осуществимых, и тем самым «шуточный» парадокс приобретает глубокий математический смысл.
   Развитие современных логических методов привело к новым ЛОГИЧЕСКИМ ПАРАДОКСАМ. Например, Брауэр указал на следующий-
ПАРАДОКС КЛАССИЧЕСКОГО СУЩЕСТВОВАНИЯ: в любой достаточно сильной классической теории имеется доказуемая формула вида ;хA(х) /существует для всех хA(х)/, для которой нельзя построить никакого конкретного t, такого, что доказуемо A(t).
   В частности, нельзя построить в теории множеств ни одной нестандартной модели действительных чисел, хотя можно доказать существование таких моделей. Этот ПАРАДОКС показывает, что понятия существования и возможности построения необратимо расходятся в классической математике.
   Нестандартные модели, которые потребовали явного различения языка и метаязыка, привели к следующему ПАРАДОКСУ:
«Множество всех стандартных действительных чисел является частью нестандартного конечного множества. Таким образом, бесконечное может быть частью конечного».
Этот парадокс резко противоречит обыденному пониманию соотношения конечного и бесконечного. Он основан на том, что свойство «быть стандартным» принадлежит метаязыку, но может быть точно интерпретировано в нестандартной модели. Поэтому в нестандартной модели можно говорить об истинности и ложности любых математических утверждений, включающих понятие «быть (не)стандартным», но для них не обязаны сохраняться свойства стандартной модели, за исключением логических тавтологий. Данный ПАРАДОКС СТАЛ ОСНОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛУМНОЖЕСТВ, в которой классы могут быть подклассами множеств.
  И наконец, последний КЛАСС ЛОГИЧЕСКИХ ПАРАДОКСОВ возникает на границах между формализованными и неформализуемыми понятиями.
   Рассмотрим один из них (АРГУМЕНТ САЙМОНА): «Все, что может быть выражено точно, может быть выражено на языке машин Тьюринга. Поэтому в гуманитарных науках могут рассматриваться лишь те модели, которые выразимы на языке машин Тьюринга. Более того, согласно методу диагонализации, любое точное возражение против данной точки зрения само переводится на язык машин Тьюринга и включается в неё».   
Этот ПАРАДОКС стимулировал появление ТЕОРИИ НЕФОРМАЛИЗУЕМЫХ ПОНЯТИЙ, но ввиду того, что он не был сразу осознан как парадокс, заодно привел к печальным последствиям, поскольку этот софизм, в котором спутаны принципиальная выразимость (требующая нереальных ресурсов) и реальные описания, был воспринят как точное рассуждение и, как отмечено в трудах по когнитивной науке, парализовал почти на 10 лет западную психологию. Отрицание аргумента Саймона после осознания его софистической природы было построено так, что привело к полному отказу от точных понятий и тем самым по существу послужило мотивом для течений типа постмодернизма. В данном случае была допущена логическая ошибка подмены противоречащего суждения противоположным.

ПАРАДОКСЫ В ИСКУССТВЕ.
Парадокс как художественный приём. ПАРАДОКСАЛЬНОСТЬ - чрезвычайно распространённое качество, присущее произведениям самых разных жанров искусства. В силу своей необычности парадоксальные высказывания, названия, содержания произведений неизменно привлекают к себе внимание людей. Это широко используется в разговорном жанре, в театральном и цирковом искусствах, в живописи и фольклоре.
   Хороший оратор обязательно использует этот приём в своих выступлениях для поддержания живого интереса слушателей. Комизм большинства анекдотов заключается в описании необычной, оригинальной ситуации. Популярная детская «поэзия нелепостей» Льюиса Кэрролла и Корнея Чуковского также построена на этом художественном приёме.
   ПАРАДОКСАЛЬНЫ МНОГИЕ АФОРИЗМЫ известных мыслителей. Например, высказывания ВОЛЬТЕРА:
«Ваше мнение мне глубоко враждебно, но за ваше право его высказать я готов пожертвовать своей жизнью»
или НИЦШЕ: «Нищих надобно удалять — неприятно давать им и неприятно не давать им», 
или ФРУМКЕРА: «Мужчина от женщины отличается тем, что перед совершением ошибки он всё тщательно продумывает».
Парадоксальностью отличаются и афоризмы КОЗЬМЫ ПРУТКОВА, БЕРНАРДА ШОУ.

ПАРАДОКСЫ В МУЗЫКЕ.
   В классической музыке парадоксом принято называть изысканные, странные произведения или фрагменты, отличающиеся от традиционного звучания.
  Также парадоксами в древней Греции называли победителей в олимпийских состязаниях певцов и исполнителей инструментальной музыки.

ПАРАДОКСЫ ПОСТУЛАТОВ ЕВКЛИДА.
   Постулат 1. Из каждой точки ко всякой другой точке можно провести прямую.
А если точки бесконечно удалены друг от друга, то провести прямую не удастся из-за нехватки времени достичь бесконечно удалённую точку – жизни не хватит дойти.
   Постулат 2. Каждую ограниченную прямую можно продолжить неопределённо.
Но если не определено, где её искать, то кому она нужна в бесконечности (якобы, неопределённо), до которой никому не дойти за всю жизнь. А если она там во что-нибудь упрётся нежелательное, где мы тогда будем при негативном варианте исхода? И кто беседовать с тем этим будет?
    Постулат 3. Из любого центра можно описать окружность любого радиуса.
Но определить, что это – окружность из бесконечно удалённых точек – невозможно, поскольку достичь бесконечно удалённых точек не хватит жизней конечного числа жителей, измеряющих радиусы. Бесконечного числа жителей пока не родили.
   Правда, есть один парадокс:
представим, что всю бесконечность превратили в шар конечного радиуса,  в плоскости, проходящей через центр шара, на поверхности шара начертили  прямую линию бесконечное число раз, которая равна по длине измеряемому нами бесконечному   радиусу, и край этой линии достиг какой-то  другой точки внутри шара в этой же плоскости, проходящей через центр шара, и эта точка показала, что она есть конец бесконечной прямой в какой-то определённый момент времени i.
Потом мы как бы вернулись в первую точку начала измерения бесконечной линии и в тот же момент времени, с которого начали первое измерение,   повернули плоскость следующего измерения на бесконечно малый градус и провели точно такое же бесконечное число раз точно такую же по длине ( как и в первый раз) бесконечную линию с окончанием ее в следующей точке шара и точно в такой же момент времени, который был и при измерении первой длины бесконечной линии. В общем получим окружность на поверхности шара (внутри или извне). Если число раз проведения линии будет кратно длине окружности, то диаметр линии будет равен диаметру шара, умноженному на бесконечное число раз.
Итак, получили выводы:
    А. Много людей не надо, если заставить конечную  точку бесконечно длинной прямой  линии вращаться, как электрон, по круговой орбите с центром  в центре шара.
   Б. Любую бесконечную длину можно превратить в конечное расстояние от начальной точки измерения (неподвижного нуля отсчёта) до конечной точки  измерения на поверхности  шара конечного радиуса в определённый момент времени i. При этом скорость вращения конечной точки должна быть конечной, но вращаться конечная точка будет бесконечное число раз . Главное, не запутаться в числе бесконечных кружений по шару – величина их можно определить мощностью бесконечности, в том числе скоростью вращения. То есть при разных скоростях полёта по поверхности шара разные точки будут чертить линии разной мощности (по длине). Получается, что длина, как геометрическая характеристика, стала обладать мощностью.
Интересная граница между геометрией и физикой точек (траекторией движения частиц).
   В. Евклид с детства был на пенсии, иначе откуда у него столько времени для размышления? И где бы он взял деньги на пропитание? Возможно, ум был сверхбыстрый или море выбросило перед ним на берегу клад. Вот почему он думал о бесконечном счастье и как измерить длину этой бесконечности? Конечно, во времени, как и мощность (стоимость) клада, когда время - деньги!
    Постулат 4. И чтобы все прямые углы были равны друг другу.
Но парадокс в том, что прямые углы могут быть не равны друг другу, если учесть их параметр ориентировки в пространстве.
В таком случае они не только не равны, а ещё к тому же могут быть и противоположно направленными.
Так что ж это за равенство, если не все прямые углы равны, а только по параметру:  число градусов, да и то с точностью до погрешности системы измерения их.
  Возможно, в том и смысл парадоксов геометрии, чтобы заставить человека думать и вращать предметы в пространстве, не видя предмета, либо не имея возможности поворачивать или переворачивать его???
    Постулат 5. И если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых углов, эти две прямые при их неограниченном продолжении встречаются с той стороны, с которой углы меньше двух прямых углов.
  А если там плоскость изогнута? Где же в формулировке фраза о  неизгибаемой плоскости?
А если прямые начинаем вести по прямой на шаре типа Земли, а проще говоря – на фигуре похожей на яблоко?  Тогда получится парадокс пятого постулата: куда кривая выведет, то есть получится нечто из железнодорожной терминологии, где пересекаются не две прямые с третьей, а четыре, когда две прямых одного пути (два рельса) пересекается  с двумя рельсами второго пути, но потом ни в одной точке не встречаются, как написано в пятом постулате, поскольку  встречаются в четырёх точках, то есть в точках пересечения двух рельсов с двумя рельсами. То есть пятый постулат геометрии превращается в железнодорожном варианте в таблицу странного умножения арифметики, так как три рельса, пересекающие другие три рельса, дают тридцать шесть точек пересечения, что означает девять в пересчете на основной элемент железнодорожного постулата: два на два будет четыре (точки пересечения), но три на три – тридцать шесть точек, но делённых на основной элемент. Правда, непонятно: зачем прямые, как сказано в формулировке бесконечно продолжать, если их необходимо и достаточно для пересечения довести до точки пересечения, а то ведь если до бесконечности вести, то параллельные прямые получим, то есть два рельса! Не о них ли и мечтал Евклид? О поездах на прямых параллельных неизгибающихся рельсах, но до бесконечности, то есть в космос, к другим планетам! Но почему по рельсам? Неужели он мечтал о космическом лифте с двумя канатами, один их которых был бы страховочным? 
Вот это мыслитель!

МИФ О ПЕЩЕРЕ.
Миф о пещере — знаменитая аллегория, использованная Платоном в диалоге «Государство» для пояснения своего учения об идеях. Считается краеугольным камнем платонизма и объективного идеализма в целом.
Представьте себе племя, которое приговорено жить в глубокой пещере. На ногах и руках у его членов оковы, которые мешают двигаться. В этой пещере родилось уже несколько поколений, единственным источником знаний для которых являются слабые отблески света и приглушённые звуки, достигающие их органов чувств с поверхности.
А теперь представьте, что эти люди знают о жизни снаружи?
И вот один из них снял с себя оковы и добрался до входа в пещеру. Он увидел солнце, деревья, удивительных животных, парящих в небе птиц. Затем он вернулся к своим соплеменникам и рассказал им об увиденном. Поверят ли они ему? Или сочтут более достоверной ту мрачную картину подземного мира, которую всю жизнь видят своими глазами?

ПАРАДОКС ВСЕМОГУЩЕСТВА или ПАРАДОКС БОГА.
   Этот парадокс заключается в попытке понять, может ли существо, которое в состоянии выполнить любое действие, сделать что-либо, что ограничило бы его способность выполнять действия.
    Может ли всемогущий Бог создать такой камень, который он не сможет поднять?
В обоих случаях (если он создать такой камень сможет или же не сможет) ставится под вопрос понятие всемогущества. То есть, если всемогущее существо создает камень, которое не может поднять, оно уже не может являться всемогущим, если же оно такой камень создать может, но поднять его не в состоянии, то его всемогущество тоже весьма сомнительно. Философы по-разному пытались разрешить этот парадокс. Августин Блаженный утверждал, что Бог не может создать такую ситуацию, которая в действительности сделает Бога не-Богом. Рене Декарт, несмотря на очевидную проблему, полагал, что Бог является абсолютно всемогущим и вообще находится вне человеческой логики.
(Серж Пьетро: БОГ - Бесконечное Обогащение Гармонией - поток созидания прекрасного.)

ПАРАДОКСЫ ЖИЗНИ.
    Все грехи в жизни имеют одно начало – глупость. Второе, третье и другие  начала жизни – от умных мыслей о лучшем (по О. Уайльду- Серж Пьетро.).
   Счастье женатого человека во многом зависит от тех, на ком он не женат (О. Уайльд).
   Жить нужно не в роскоши, а среди полезных для здоровья вещей, поскольку роскошь - это топкое болото, затягивающее дороговизной. Польза для здоровья от затягивания в болото - никакая!
ПАРАДОКС СОВРЕМЕННОЙ ЖИЗНИ состоит в том, что люди изучили и применяют не все те закономерности и случайности, что действуют в природе, Вселенной, а лишь те, что удалось понять и придумать умом Человека. Других сущностей или процессов, умеющих писать и говорить по-человечески внятно, думающих или двигающихся, не найдено, но есть те, что подают нам различные знаки. Их наиболее  интересно изучать и интерпретировать философски.
ГЛАВНЫЙ ПАРАДОКС ЖИЗНИ – теплота отношений. Младенцы знают почти ничего, почти ничего в жизни осмысленно не видят – им почти ничего не надо, кроме теплоты. Молодость знает всё, что-то в жизни видит – им всё надо, даже теплота. Во вторую молодость (в средние года) люди знает многое, многое осмысленно видят – и им ещё многое надо, особенно теплота. В последнюю молодость люди помнят всё, всё в жизни видят, но им ничего не надо, кроме теплоты. Критерии смысла жизни – наслаждение жизнью и теплотой отношений – с годами возвращаются.

ПАРАДОКСЫ ПРОИЗНОШЕНИЯ
   Парадокс произношения состоят в том, что произнесённые неправильно слова воспринимаются через подобные близкие по набору слогов.
(при ошибке компьютера + ошибка при произношении:  разовьём - разобьём).

ПАРАДОКСЫ ВОСПРИЯТИЯ.
Ошибки моего компьютера:   печатал - умрозаключение, на экране -  умозлоключения.

ПАРАДОКС ВОСПРИЯТИЯ РЕЧИ
Сказали «выбьем», а слышится «выпьем»

ПАРАДОКСЫ КОМАНД
По местам стоять, полный вперёд!
Напра-…нале-…шагом…отставить.

ПАРАДОКСЫ БЕЗГРАМОТНОСТИ.
Казнить нельзя помиловать.

ПАРАДОКСЫ СМЫСЛА.
   Смысл – это внутреннее содержание, значение чего-н., постигаемое разумом.
Он дожил до самой смерти, а потом умер.
   Не будь цветов, все ходили бы в одноцветных одеяниях.
   Силлогизмы: из «все жидкости несжимаемы», «ртуть – жидкость», следует – «ртуть несжимаема».
   Только пустые люди знают о себе всё, поскольку пустота – ничто / Серж Пьетро, по Оскару Уайльду/
   Познать себя возможно в данное мгновение, но познать себя полностью – стать равным Богу.
    Лишь Вселенная видит и чувствует то, что несёт она человеку на многие годы вперёд.
    Парадокс Хинтикки (финский философ Яако Хинтикки – философия «конкурирующих миров») : «Уместно ли считать предосудительным то, что человек не в состоянии сделать?» – Серж Пьетро: парадокс разрешим вполне:
Всё, что негативно или растлевающе - влияет на ум человека, всё это не должно применяться и предосудительно, но что недостижимо, но позитивно и созидательно для развития прекрасного – может быть одобрено; всё, что пока не в состоянии сделать – возможно создать в фантастике на сегодняшний день).

ПАРАДОКСЫ ИСТОРИИ.
    История многому может научить, но почему-то чаще делает наоборот. Парадокс – в отсутствии у истории голоса.
   Парадокс Гегеля: «История учит человека тому, что человек ничему не учится из истории»
    Один их главных парадоксов нашей историографии Средних веков в том, что тогда не все русские люди подозревали, что они живут «под игом».  Латинское слово и понятие «иго» (по-современному: Иностранное ГОсподство ) в значении «угнетение» по отношению к Руси впервые появилось в одном из европейских источников во второй половине XV века. В русских памятниках письменности - во второй половине XVII века, в одном-единственном списке (копии) «Сказания о Мамаевом побоище». В 2017 году уже Святейший Патриарх Кирилл на первом заседании Оргкомитета по подготовке 800-летнего юбилея святого благоверного князя Александра Невского обозначил решительный поворот в историографии Средневековой Руси:   «Александр Невский сумел выстроить такие отношения с Ордой, которые обеспечивали сохранение Руси… В результате Русь не потеряла своей идентичности, она не потеряла своей веры, не потеряла даже своего государственного устройства…».
   Парадокс Несуэцкого канала – Египетский канал тянулся к Красному морю не непосредственно от Средиземного, а от Нила древнефиникийские и египетские суда заходили из Средиземного моря в Нил и уже из реки по каналу доплывали до Красного моря и выходили в Индийский океан.

ПАРАДОКСЫ МАССЫ
   Масса живого или движущегося должна быть больше, тогда всем всего хватит, однако масса живого и движущегося не должна быть больше опасного предела, когда живое заполонит всё и вымрет от нехватки питательной среды.
   Масса Земли все время растет, но она при этом она становится больше в диаметре, т.е. больше пространства для жизни и роста живого – хорошо, но при этом Земля начинает вращаться медленнее, Солнце греет одну сторону планеты всё дольше, всё живое будет испытывать всё больше неудобств от чрезмерной жары, рост массы Земли дальше приведёт к испепеляющей жаре – плохо.
   Парадокс недоношенности (недостатка массы тела): Низкий вес при рождении и курение матери приводят к большой смертности. Дети курящих родителей имеют более низкий вес при рождении, однако маловесящие дети курящих родителей имеют более низкую смертность, чем другие маловесящие дети. 
На первый взгляд, эти данные свидетельствуют о том, что, по крайней мере, для некоторых детей наличие курящей матери может быть полезным для здоровья. Однако парадокс можно объяснить статистически, обнаружив скрытую переменную между курением и двумя ключевыми переменными: весом при рождении и риском смертности. На обе переменные влияют независимо курение и другие неблагоприятные условия - снижается масса тела при рождении и повышается риск смертности. Однако каждое условие не обязательно влияет на обе переменные в одинаковой степени.
  Распределение веса при рождении детей курящих матерей смещается в сторону снижения веса благодаря действиям их матерей. Следовательно, в противном случае здоровые дети (которые весят больше, если бы не курила их мать) рождаются с недостаточным весом. Тем не менее, они по-прежнему имеют более низкий уровень смертности, чем дети, у которых есть другие, более серьезные, медицинские причины, по которым они рождаются с недостаточным весом.
   Короче говоря, курение вредно в том смысле, что оно способствует снижению массы тела при рождении, которая имеет более высокую смертность, чем нормальная масса тела при рождении, но другие причины низкой массы тела при рождении, как правило, более вредны, чем курение.

ПАРАДОКСЫ ФИЛОСОФИИ.
     Философия (др.-греч.  дословно «любомудрие; любовь к мудрости») - особая форма познания мира, вырабатывающая систему знаний о наиболее общих характеристиках, предельно-обобщающих понятиях и фундаментальных принципах реальности (бытия) и познания, бытия человека, об отношении человека и мира. К задачам философии на протяжении её истории относились как изучение всеобщих законов развития мира и общества, так и изучение самого процесса познания и мышления, а также изучение нравственных категорий и ценностей. К числу предельных философских вопросов относятся, например, вопросы «Познаваем ли мир?», «Существует ли Бог?», «Что такое истина?», «Что такое хорошо?», «Что есть Человек?», «Что первично — материя или сознание?» и другие. Новейшая философия так же партийна, как и две тысячи лет тому назад. Борющимися партиями по сути дела… являются материализм и идеализм.
   Парадоксом принято называть утверждение, отличающееся от общепринятого, или явление, кажущееся невероятным и неожиданным.

ПАРАДОКС ИМПЛИКАЦИИ.
Парадокс импликации: Несовместные посылки делают аргумент верным.
 Парадоксы импликации - это парадоксы, возникающие в связи с содержанием условных утверждений классической логики. Главная функция этих утверждений — обоснование одних утверждений ссылкой на другие.
В классической логике условное утверждение имеет форму «Если {A}, то {B}». Оно ложно только в том случае, если {A}истинно, а {B}ложно, и истинно во всех остальных случаях. Содержание утверждений {A} и {B} при этом во внимание не принимается. Если даже они никак не связаны друг с другом по смыслу, составленное из них условное утверждение может быть истинным.
Так истолкованное условное утверждение носит название «материальной импликации». Оно характеризуется следующими парадоксами:
Если {B} истинно, то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности {A}. То есть истинное утверждение может быть обосновано с помощью любого утверждения. Пример: утверждение «если дважды два равно пяти, то снег белый» является истинным.
Если {A} ложно, то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности {B}. То есть с помощью ложного утверждения можно обосновать всё что угодно. Пример: утверждение «если дважды два равно пяти, то снег красный» является истинным.
Если {A} является противоречивым (тождественно ложным) утверждением, то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности {B}.
То есть из противоречивого утверждения можно вывести всё что угодно. Пример: утверждение «если дважды два равно четырём и дважды два не равно четырём, то Луна сделана из зелёного сыра» является истинным.
Если {B} является тавтологией (то есть утверждением, истинным при любом содержании; такие утверждения выражают логические законы), то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности {A}. То есть логические законы следуют из любых утверждений. Пример: утверждение «Если снег белый, то дважды два равно четырём или дважды два не равно четырём» является истинным.
Эти парадоксы материальной импликации являются прямым следствием двух основных постулатов классической логики:
Всякое утверждение либо истинно, либо ложно, а третьего не дано;
Истинностное значение сложного утверждения зависит только от истинностных значений входящих в него простых утверждений, а также от характера связи между ними, и не зависит от их содержания.
В рамках этих двух допущений адекватное построение условных утверждений невозможно.
Ясно, что материальная импликация не выполняет свою функцию обоснования. Подобное положение дел, отстаиваемое классической логикой, получило название «парадоксов материальной импликации».
С целью решения этих парадоксов в 1912 году американский логик К. И. Льюис (Clarens Irving Lewis) предложил заменить материальную импликацию так называемой «строгой импликацией», которая как-то отражает связь простых утверждений, составляющих условное утверждение, по смыслу. Правда, потом оказалось, что строгая импликация сама не свободна от парадоксов. Поэтому в 1950-е годы немецкий логик В. Аккерман и американские логики А. Андресон и Н. Белнап предложили другой вариант условной связи — «релевантную импликацию», — которая разрешает не только парадоксы материальной импликации, но и парадоксы строгой импликации. Этой импликацией можно связывать только те утверждения, которые имеют общее содержание.

ПАРАДОКС САТАНИНСКОЙ БУТЫЛКИ СТИВЕНСОНА.
  В сказке Стивенсона «Сатанинская бутылка» безмятежный гаваец Кэаве становится обладателем cтеклотары с чёртом, выполняющим любые желания владельца. За это, правда, хозяин после смерти непременно попадает в ад, если только не сможет продать бутылку дешевле, чем покупал её сам.
Парадокс в том, что, потребовав за неё, допустим, 100 рублей, продать её можно, теоретически, кому угодно. Однако, условием черта была честная сделка, то есть покупатель должен знать о последствиях. Если же купить бутылку по максимальной цене (до этого по словам автора она стоила миллионы и владели ей такие личности, как Наполеон и Кук), денег может элементарно не хватить, да и найти покупателей будет нелегко. Логически очень сложно просчитать формулу, при каком соотношении сил бутылка будет иметь оптимальную низкую цену для продажи.
Сам писатель в сказке задачу решил просто. На выбор предлагалось три варианта: курс валют разных стран (против этого чёрт не возражал), самопожертвование близкого человека, готового купить бутылку, чтобы снять с хозяина проклятие, и последнее — покупательская алчность и наплевательское отношение к загробной жизни. В любом случае, загадку Стивенсона до сих пор считают одной из самых интересных задачек на сообразительность для студентов экономических вузов.

ПАРАДОКС ВОРОНОВ.
Парадокс воронов (или Вороны Хемпеля): Существование красного яблока увеличивает вероятность того, что все вороны чёрные.
Доказательство одноцветности всех лошадей методом математической индукции.
Парадо;кс во;ронов (англ. Raven paradox), известный также как парадокс Гемпеля (нем. Hempels paradox) или во;роны Гемпеля — парадокс подтверждения[1], сформулированный немецким математиком Карлом Густавом Гемпелем в 1940-х годах, для иллюстрации того, что индуктивная логика иногда входит в противоречие с интуицией. Наиболее распространённый метод разрешения этого парадокса состоит в применении теоремы Байеса, которая соотносит условную и предельную вероятность стохастических событий. Гемпель описал этот парадокс следующим образом. Предположим, что существует теория, согласно которой все вороны чёрные. Согласно формальной логике, эта теория эквивалентна теории, что все предметы, не являющиеся чёрными, не являются воронами. Если человек увидит много чёрных воронов, то его уверенность в том, что эта теория верна, увеличится. Если же он увидит много красных яблок, то это увеличит его уверенность в том, что все нечёрные предметы не являются воронами, и, согласно вышесказанному, должно также увеличить и его уверенность в том, что все вороны чёрные.
Однако этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации человеком. Наблюдение красных яблок увеличит уверенность наблюдателя в том, что все нечёрные предметы не являются воронами, но при этом не увеличит его уверенность в том, что все вороны чёрные.
Парадокс сатанинской бутылки Стивенсона описывается схожей логикой.

ПАРАДОКС ПЬЯНИЦЫ.
Парадокс пьяницы — утверждение, которое утверждает что в любом кабаке существует по крайней мере один такой человек, что если он пьёт, то пьют все (предполагается, что в кабаке есть по крайней мере один человек). Это утверждение, сформулированное в формальной логике, оказывается верным.
Допустим: утверждение, что в кабаке пьют все, истинно. Выделим среди всех, кто пьёт в кабаке, какого-то одного человека. Назовём его Джоном. Тогда верно утверждение, что если пьют все, то пьёт и Джон. И наоборот, если пьёт Джон, то пьют и все.
Предположим теперь, что наше утверждение ложно, то есть неверно, что в кабаке пьют все. Тогда в кабаке существует по крайней мере один человек, который не пьёт. Назовём его, опять же, Джоном. Поскольку неверно, что Джон пьёт, то верно, что если он пьёт, то пьют все. То есть опять получается, что если Джон пьёт, то пьют все.
Последнее умозаключение основано на том допущении классической логики, что из ложного утверждения следует всё что угодно. То есть если утверждение, что Джон пьёт, ложно, а также если следующее из него утверждение, что все остальные посетители кабака пьют, тоже ложно, то всё условное (сложное) утверждение считается в классической логике истинным.
Аналогичная натянутость доводов есть и в первом умозаключении. А именно, если верно, что если в кабаке пьют все, то пьёт и Джон, то не обязательно верно, что если пьёт Джон, то пьют не все. Если заранее не известно, что в кабаке пьют все, тогда то, что вместе с Джоном пьют все, нужно оговаривать (или проверять) специально. В классической логике такие нюансы не принимаются во внимание (принцип исключения среднего), поэтому в ней при обращении истинного условного утверждения также получается истинное (условное) утверждение.
В данном случае мы имеем дело с вариантом парадоксов импликации, возникающих из-за того, что классическая логика абстрагируется от смыслового содержания высказываний. Такие парадоксы решаются в релевантной логике (см. парадокс импликации), в которой имеются средства, учитывающие то содержание высказываний, от которого абстрагируется классическая логика и неучёт которого ведет к парадоксам.

ПАРАДОКС КЭРРОЛА.
   Парадокс Кэррола (англ.): Момент инерции палочки должен быть равен нулю, но он не равен.
   В физике парадокс Кэрролла возникает при рассмотрении движения падающего жесткого стержня, который специально ограничен. С одной стороны, момент импульса остаётся постоянным; рассматривается по-другому, он меняется. Он назван в честь Майкла М. Кэрролла, который впервые опубликовал его в 1984 году.
   Рассмотрим две концентрические окружности радиуса{r_{1}} и {r_{2}}как можно было бы нарисовать на лице настенные часы. Предположим, что однородный жёсткий тяжелый стержень длины{l = |r_ {2} -r_ {1}|  как-то ограничен между этими двумя кругами, так что один конец стержня остается на внутреннем круге, а другой остается на внешнем круге. Движение стержня вдоль этих кругов, выступающего в качестве направляющих, происходит без трения. Стержень удерживается в положении «три часа», чтобы он был в горизонтальном положении, а затем отпускается.
Теперь рассмотрим момент импульса относительно центра стержня:
После освобождения стержень (стрелка) падает. Будучи ограниченным, он должен вращаться при движении. Когда он достигает вертикального положения в шесть часов, он теряет потенциальную энергию и, поскольку движение без трения, приобретет кинетическую энергию. Следовательно, он обладает моментом импульса.
Сила реакции на стержень от любой круговой направляющей не имеет трения, поэтому она должна быть направлена вдоль стержня; не может быть компонента силы реакции, перпендикулярного стержню. Принимая моменты вокруг центра стержня, не может быть никакого момента, воздействующего на стержень, поэтому его угловой момент остается постоянным. Поскольку стержень начинается с нулевого момента импульса, он должен продолжать иметь нулевой момент импульса в течение всего времени.
Очевидное разрешение этого парадокса состоит в том, что физическая ситуация не может возникнуть. Для удержания стержня в радиальном положении окружности должны оказывать бесконечное усилие. В реальной жизни было бы невозможно создать направляющие, которые не оказывают значительного реактивного усилия перпендикулярно стержню. Виктор Намиас, однако, оспаривал, что возникают бесконечные силы, и утверждал, что стержень конечной толщины испытывает крутящий момент вокруг своего центра масс даже в пределе при приближении к нулевой ширине.
Парадокс Кэррола : «Whatever Logic is good enough to tell me is worth writing down…»
«Любая логика, которая хороша достаточно, чтобы рассказать мне, стоит того, чтобы записать…»   

ПАРАДОКС ЛОТЕРЕИ.
  Вполне ожидаемо (и философски проверяемо (англ.)), что данный конкретный билет не выиграет, но нельзя ожидать, что никакой билет не выиграет.
   Парадокс лотереи состоит в том, что вероятность выигрыша каждого билета в отдельности ничтожно мала, и рациональным будет считать, что ни один из всех билетов не выиграет. То есть невозможно знать заранее, какой конкретный билет выиграет, но что один билет выиграет мы знаем наверняка. То есть парадокс лотереи возникает из-за неправильной исходной посылки: распределение вероятности не равномерно в рамках отдельного периода, а изменчиво. И если принять за отдельный период один тираж, то в нем не могут выпасть все возможные варианты, а выпадет только один. Поэтому противоречивое понимание вероятности исчезает: вероятность выпадения абсолютного большинства вариантов будет равна нулю, и лишь вероятность одного варианта будет равна единице.

ПАРАДОКСЫ САМОРЕФЕРЕНЦИИ (САМООТНОСИМОСТИ)
  Это хорошо известный (и хорошо изученный) класс противоречий, возникающих в высказываниях, которые содержат определение чего-либо, неявно ссылающееся на само себя.
Самореференция (самоотносимость)— явление, которое возникает в системах высказываний в тех случаях, когда некое понятие ссылается само на себя. Иначе говоря, если какое-либо выражение является одновременно самой функцией и аргументом этой функции.
Самореференция в математике и логике всегда означает нарушение предикативности и обычно вызывает логические парадоксы. Причина в том, что объект (субъект), указывающий сам на себя во множестве (системе, теории) и несущий оценку (действие) самому себе, благодаря самому себе, ведёт к логическому парадоксу. Все индуктивные логические выводы рано или поздно подтверждают собой ценность того множества (системы, теории), в котором они находятся, либо само множество подтверждает их ценность. Все индуктивные выводы, из оснований которых следует ценность (действие) систем, которые указывают сами на себя, благодаря самим себе — логические парадоксы.

ПАРАДОКС БРАДОБРЕЯ.
   Рассел упоминает следующий вариант парадокса, сформулированный в виде загадки, которую ему кто-то подсказал.
Пусть в некой деревне живёт брадобрей, который бреет всех жителей деревни, которые не бреются сами, и только их.
Бреет ли брадобрей сам себя?
Любой ответ приводит к противоречию. Рассел замечает, что этот парадокс не эквивалентен его парадоксу и легко решается[6]. Действительно, точно так же, как парадокс Рассела показывает, что не существует расселовского множества, парадокс брадобрея показывает, что такого брадобрея просто не существует. Разница состоит в том, что в несуществовании такого брадобрея ничего удивительного нет: не для любого свойства найдётся брадобрей, который бреет людей, обладающих этим свойством. Однако то, что не существует множества элементов, заданных некоторым вполне определённым свойством, противоречит наивному представлению о множествах и требует объяснения
   Наиболее близким по формулировке к парадоксу Рассела является следующий вариант его изложения:
Библиографические каталоги — это книги, которые описывают другие книги. Некоторые каталоги могут описывать другие каталоги. Некоторые каталоги могут описывать даже сами себя. Можно ли составить каталог всех каталогов, которые не описывают сами себя?

ПАРАДОКС ГРЕЛЛИНГА -  назван в честь открывшего его немецкого математика Курта Греллинга.
Разделим все прилагательные на два множества: самодескриптивные, обладающие тем свойством, которое они выражают, и несамодескриптивные. Такие прилагательные, как «многосложное», «русское» и «трудновыговариваемое» принадлежат к числу самодескриптивных. А такие как «немецкое», «однокоренное» и «невидимое» — к числу несамодескриптивных. К какому из двух множеств принадлежит прилагательное «несамодескриптивное»?

ПАРАДОКС ГРЕЛЛИНГА — НЕЛЬСОНА.
    Этот парадокс был сформулирован немецкими математиками Куртом Греллингом[de] и Леонардом Нельсоном в 1908 году. Он фактически является переводом первоначального варианта парадокса Рассела, изложенного им в терминах логики предикатов, на нематематический язык.
Будем называть прилагательное рефлексивным, если это прилагательное обладает свойством, определяемым этим прилагательным. Например, прилагательные «русское», «многосложное» - обладают свойствами, которые они определяют (прилагательное «русское» является русским, а прилагательное «многосложное» является многосложным), поэтому они являются рефлексивными, а прилагательные «немецкое», «односложное» — являются нерефлексивными.
Будет ли прилагательное «нерефлексивное» рефлексивным или нет?
Любой ответ приводит к противоречию. В отличие от ПАРАДОКСА БРАДОБРЕЯ, решение этого парадокса не такое простое. Нельзя просто сказать, что такого прилагательного («нерефлексивный») не существует, так как мы его только что определили. Парадокс возникает из-за того, что определение термина «нерефлексивный» некорректно само по себе. Определение этого термина зависит от значения прилагательного, к которому оно применяется. А так как слово «нерефлексивный» само является прилагательным в определении, возникает порочный круг.
ПАРАДОКС ГРЕЛЛИНГА-НЕЛЬСОНА (англ.): Является ли слово «гетерологичный», означающее «неприменимый к самому себе», гетерологичным словом? (Близко к Парадоксу Рассела).
   В парадоксе Рассела нет ошибки: он действительно доказывает противоречивость наивной теории множеств. Чтобы избавиться от противоречия, нужно исправить теорию множеств, так, чтобы она не допускала расселовское множество. Это можно сделать несколькими способами. Наиболее естественным путём является запрещение тем или иным способом множеств, которые могут содержать себя в качестве элемента. Таким образом будет запрещено и множество всех множеств (по крайней мере, совокупность всех множеств не будет сама являться множеством). Однако необходимо иметь в виду, что, с одной стороны, просто одного запрещения множеству иметь себя в качестве элемента недостаточно, чтобы избавиться от противоречия (как показала первая попытка Фреге исправить свою систему). С другой стороны, само по себе разрешение множествам включать себя в качестве элемента не приводит к противоречиям. Например, ничто не мешает создать каталог, который будет включать в себя все каталоги, в том числе описывать самого себя. Многие языки программирования позволяют контейнерам включать себя в качестве элемента. Существуют логические системы, свободные от ПАРАДОКСОВ ТИПА РАССЕЛОВСКИХ, которые позволяют множествам содержать себя (например, new foundations[en] У. В. О. КУАЙНА).

ПАРАДОКС ЭПИМЕНИДА: Критянин говорит: «Все критяне — лжецы»
Если предположить, что утверждение истинно, то, поскольку оно гласит свою ложность, оно ложно, что является противоречием. Напротив, если предположить его ложность, то оно соответствует тому, что само гласит, а потому истинно, что также является противоречием.
Суть парадокса — самореференция, то есть указание предложения на самого себя.
Подобные парадоксу лжеца утверждения часто использовались на протяжении истории философии: он был известен древним грекам и использовался как головоломка средневековыми логиками, а также стал основополагающим объектом исследования современной логики.

ПАРАДОКС ИСКЛЮЧЕНИЙ: «Если у каждого правила есть исключения, то каждое правило должно иметь хотя бы одно исключение, кроме этого» …а это не исключение к правилу, которое утверждает, что у каждого правила есть исключения?
Парадокс исключений — логический парадокс, который формулируется следующим образом: «Каждое правило имеет исключения».
Рассуждаем: если каждое правило имеет исключения, тогда должно существовать и исключение из правила, что каждое правило имеют исключения. Оно должно утверждать, как минимум, что не каждое правило имеет исключения, а как максимум — что исключений из правил нет. Парадоксальной форме больше соответствует второй вариант.
Эти рассуждения можно рассматривать как доказательство того, что предложение «Каждое правило имеет исключения» является ложью — классический пример такой хорошо известной техники доказательства, как reductio ad absurdum (сведение к противоречию).
Парадокс исключений только похож на парадокс лжеца, но сам парадоксом не является. В парадоксе лжеца рассуждения можно начинать с любого предположения (что утверждение «я лгу» является истинным или ложным) — в результате мы приходим к противоположному выводу и начинаем рассуждать уже исходя из него, снова приходя к противоположному выводу. В парадоксе исключений, чтобы прийти к противоположному выводу, начинать рассуждения нужно с предположения, что «Каждое правило имеет исключения». Предположение, что «Исключений из правил нет», никаких рассуждений не предполагает и ни к какому выводу не ведет. Это всего лишь предположение, истинность или ложность которого можно установить только опытным путем.
Другим подтверждением, что парадокс исключений не является настоящим парадоксом, является неоднозначность заключительного вывода из приведенных выше рассуждений.

ПАРАДОКС ПЛАНКТОНА
 Парадокс планктона (планктонный парадокс) — описание такой ситуации в водной экосистеме, при которой ограниченный круг ресурсов поддерживает неожиданно широкий спектр видов планктона, по-видимому, нарушая принцип конкурентного исключения.

ПАРАДОКСАЛЬНЫЙ КОМБИНАТОР.
Y-комбинатор в лямбда-исчислении и комбинаторной логике был назван ПАРАДОКСАЛЬНЫМ КОМБИНАТОРОМ так как он связан с самоотносимостью.
Лямбда-исчисление — формальная система, разработанная американским математиком Алонзо Чёрчем для формализации и анализа понятия вычислимости.
Чистое лямбда-исчисление, термы которого, называемые также объектами («обами»), или лямбда-термами, построены исключительно из переменных применением аппликации и абстракции. Изначально наличие каких-либо констант не предполагается.
В языках программирования под «{lambda }-исчислением» зачастую понимается механизм «анонимных функций» - callback-функций, которые можно определить прямо в том месте, где они используются, и которые имеют доступ к локальным переменным текущей функции (замыкание. Замыкание — это особый вид функции. Она определена в теле другой функции и создаётся каждый раз во время её выполнения.).

ПАРАДОКС ПЕТРОНИЯ: «Ограничивайте себя во всех вещах, даже в ограничении»
Если вы должны ограничивать себя в ограничении, то значит, не должны ограничивать себя ни в чём. Но если вы не ограничиваете себя ни в чём, то значит, должны ограничивать себя во всех вещах.  Этот парадокс является разновидностью парадокса лжеца. Здесь также имеются два класса поведения – ограничение себя во всех вещах и неограничение себя ни в чём,  – а также особый объект – человек, ограничивающий себя в ограничении, – который принадлежит каждому классу лишь в той мере, в какой не принадлежит противоположному классу.

ПАРАДОКС КВИНА (англ. Quine's paradox): «возвращает ложь, когда ей предшествует его цитата» - возвращает ложь, когда ей предшествует его цитата.
Парадокс Куайна - это парадокс в отношении истинных ценностей, заявленный Уиллардом Ван Орманом Куайном .  Это связано с парадоксом лжеца, как с проблемой, и оно имеет целью показать, что предложение может быть парадоксальным, даже если оно не ссылается на себя и не использует демонстративные или индексные обозначения (то есть оно явно не ссылается на себя). Можно заметить, чтобы утверждать следующее: предложение подразумевает, что оно ложно, что парадоксально, поскольку, если оно ложно, то всё, что оно утверждает, на самом деле верно.

ПАРАДОКС ЭВАТЛА (софизм Эватла): Протагор взял ученика Эватла при условии, что тот ему заплатит, когда выиграет первое дело. Случилось так, что Протагор подал иск на Эватла за то, что тот ему долго не платит. Должен ли Эватл заплатить, если он выиграет это дело (хотя выигрыш означает, что Эватл ничего не должен Протагору)?

    ПАРАДОКС РАССЕЛА: Содержит ли множество всех таких множеств, которые не содержат себя, самого себя? Рассел популяризовал его в форме парадокса брадобрея: «Брадобрей бреет только тех людей, которые не бреются сами. Бреет ли он себя?»

  ПАРАДОКС РИШАРА.
Парадокс Ришара - семантический парадокс -  с помощью некоторых фраз какого-либо языка могут быть охарактеризованы те или иные вещественные числа. Например, фраза «отношение длины окружности к длине её диаметра» характеризует число «пи», а фраза «две целых и три десятых» характеризует число 2,3. Все такие фразы этого языка можно пронумеровать определённым способом (например, если упорядочить фразы по алфавиту как в словаре, то каждая фраза получит тот номер, на каком месте она находится). Теперь оставим в этой нумерации фраз только те фразы, которые характеризуют одно вещественное число (а не два и более). Число, которое охарактеризовано при такой нумерации фразой номер n, назовем n-м числом Ришара.
Рассмотрим такую фразу: «Вещественное число, у которого n-й десятичный знак равен 1, если у n-го числа Ришара n-й десятичный знак не равен 1, и n-й десятичный знак равен 2, если у n-го числа Ришара n-й десятичный знак равен 1». Эта фраза определяет некоторое число Ришара, допустим, k-е; однако, согласно определению, оно отличается от k-го числа Ришара в k-м десятичном знаке. Таким образом, пришли к противоречию.
    Если сопоставить все свойства чисел с числами, то можно определить такое свойство, которому не будет соответствовать никакое число.
   Прикажите слуге не слушаться Вас. Не слушаясь Вас, он ослушается приказа, так как он исполняет его, слушаясь Вас.

АНТИНОМИЯ РИШАРА (критерий осмысленности текста – соответствие (достаточность) полноты описания текста ранее известному понятию либо вновь создаваемому текстом понятию – достижение точки пространства расположения понятий в памяти человека с последующим сравнением их на логическую или иную (вероятностную) достоверность).

ПАРАДОКС ОПРЕДЕЛЕНИЯ: Невозможно дать определение определению, ибо пока мы не дали это определение, само понятие определения остается неизвестным.
ПАРАДОКСЫ ОПРЕДЕЛЕНИЙ. Корабль Тесея Если каждый элемент корабля был заменён хотя бы один раз, можно ли считать корабль прежним кораблём?
Согласно греческому мифу, пересказанному Плутархом, корабль, на котором Тесей вернулся с Крита в Афины, хранился афинянами до эпохи Деметрия Фалерского и ежегодно отправлялся со священным посольством на Делос. При починке в нём постепенно заменяли доски, до тех пор, пока среди философов не возник спор, тот ли это ещё корабль или уже другой, новый? Кроме того, возникает вопрос: в случае постройки из старых досок второго корабля какой из них будет настоящим? Разгадка парадокса — в неопределенности понятия «тот же». В зависимости от того, как его задать, будут разные ответы. Можно лишь обсуждать, какие определения соответствуют тем или иным представлениям о тождестве.

ПАРАДОКС БЕРТРАНА - проблема классического определения теории вероятностей. Жозеф Бертран описал парадокс в своей работе Calcul des probabilit;s (1888) в качестве примера того, что вероятность не может быть чётко определена, пока не определён механизм или метод выбора случайной величины.   Различные определения случайной величины, основанные на «здравом смысле», дают различные результаты.
ПАРАДОКС БЕРТРАНА в экономической теории — ситуация, когда два олигополиста, конкурируя между собой и достигнув равновесия Нэша, оказываются с нулевой полной прибылью. Парадокс проявляется в модели Бертрана, описывающей конкуренцию в олигополии. Модель в простейшем варианте, в котором и проявляется парадокс, рассматривает очень упрощённый рынок и использует очень сильные допущения:

ПАРАДОКС ТРИСТРАМА ШЕНДИ — рассуждение, предложенное Расселом в книге «Мистицизм и логика» («Mysticism and Logic») в связи с понятием равномощности множеств, демонстрирующее нарушение интуитивного принципа «часть меньше целого» для бесконечных множеств.  В романе Стерна «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена» герой обнаруживает, что ему потребовался целый год, чтобы изложить события первого дня его жизни, и ещё один год понадобился, чтобы описать второй день. В связи с этим герой сетует, что материал его биографии будет накапливаться быстрее, чем он сможет его обработать, и он никогда не сможет её завершить. «Теперь я утверждаю, — возражает на это Рассел, — что если бы он жил вечно и его работа не стала бы ему в тягость, даже если бы его жизнь продолжала быть столь же богатой событиями, как вначале, то ни одна из частей его биографии не осталась бы ненаписанной».
Действительно, события {n}-го дня Шенди мог бы описать за {n}-й год и, таким образом, в его автобиографии каждый день оказался бы запечатлённым. Иначе говоря, если бы жизнь длилась бесконечно, то она насчитывала бы столько же лет, сколько дней.
Аналогия: Ряд натуральных чисел можно поставить во взаимно однозначное соответствие с рядами квадратов натуральных чисел, степеней двойки, факториалов и т. п.:
1 2 3 4 5 …
1 4 9 16 25 …
2 4 8 16 32 …
1 2 6 24 120 …
Можно привести примеры рядов натуральных чисел со всё более быстрым ростом, представителей которых, как бы редко они ни были расположены в натуральном ряду, будет столько же, сколько натуральных чисел.
Данное рассуждение демонстрирует нарушение принципа «часть меньше целого», которое характерно для бесконечных множеств и даже может быть использовано для отличения их от конечных. Критерий бесконечности множества, предложенный Дедекиндом, формулируется следующим образом: «множество является бесконечным, тогда и только тогда, когда оно равномощно некоторой своей части». Можно доказать, что критерий Дедекинда в аксиоматической теории множеств эквивалентен определению бесконечного множества как множества, содержащего счётное подмножество элементов.

ПАРАДОКС ПРЕДОПРЕДЕЛЕНИЯ (англ.): Человек попадает в прапрапрапра-прошлое, имеет связь со своей прапрапрапра-предком женского пола и создаёт своего прапрапра-предка мужского пола. В результате получается череда потомков, включая родителя этого человека и его самого. Следовательно, если бы он не путешествовал в прошлое, его бы вообще не существовало.

ПАРАДОКС ЛЫСОГО — «Если волосы с головы выпадают по одному, с какого момента человек становится лысым?»

ПАРАДОКС ИНТЕРЕСНЫХ ЧИСЕЛ. Наименьшее неинтересное натуральное число интересно само по себе этим фактом, но тогда оно не относится к неинтересным.
 Полуюмористический парадокс, который возникает из-за попыток классифицировать натуральные числа как «интересные» и «скучные». Согласно этому парадоксу, все натуральные числа являются интересными. Доказательство этого утверждения осуществляется методом «от противного»: если существует непустое множество неинтересных натуральных чисел, то в этом множестве существует наименьшее число, но наименьшее неинтересное число уже само по себе интересно — что и создаёт противоречие.  Более строго сформулированное «доказательство» парадокса может выглядеть следующим образом.
Теорема. Неинтересных натуральных чисел нет.
Доказательство. Предположим, что теорема неверна, то есть существует непустое множество натуральных чисел, которые неинтересны. В связи с тем, что множество натуральных чисел является вполне упорядоченным, должно быть некоторое самое маленькое число в ряде неинтересных чисел. Обладая такой уникальной особенностью, это число более не может быть названо неинтересным, следовательно, не может находиться в ряду неинтересных чисел.
Попытки разделить все числа на «интересные» и «неинтересные» ведут к парадоксу или антиномии определения. Любая попытка разделения натуральных чисел на два множества: «интересных» и «скучных» ведёт к провалу. Поскольку определение чего-либо как интересного является субъективным, здесь оно может быть рассмотрено как полушутливое применение самореференции, используемое с целью получения парадокса. Парадокс снимается, если понятие «интересно» определить объективно, например:
самое маленькое натуральное число, которое не имеет посвящённой ему страницы в Википедии;
наименьшее число, отсутствующее в интернет-энциклопедии целочисленных последовательностей;
наименьшее число, принадлежащее какой-либо последовательности или обладающее каким-либо свойством, 
и т. д.
Поскольку существует много значимых работ в области математики, которые используют самореференцию (например теорема Гёделя о неполноте), описываемый парадокс затрагивает серьёзные проблемы во многих областях исследований.
Эта версия парадокса распространяется только на вполне упорядоченные множества с естественным порядком, такие как натуральные числа; аргумент неприменим в отношении действительных чисел.
Одно из предложенных решений парадокса утверждает, что первое неинтересное число сделано интересным уже одним этим обстоятельством. К примеру, если бы 39 и 41 были двумя неинтересными числами, число 39 можно было бы считать интересным, тогда как 41 осталось бы неинтересным, ведь оно не первое неинтересное число. Однако это решение является неверным, ведь парадокс доказывается от противного: предположив, что какое-то число неинтересно, мы приходим к тому, что это же число именно этим и интересно, следовательно, неинтересное число не может существовать. Целью решений является, в частности, не выявление интересных или неинтересных чисел, но поднятие вопроса о том, могут ли числа обладать такими свойствами в принципе.
Слабое место доказательства — отсутствие ясности в том, что считать «интересностью» числа. Однако, если положить, что «предикат интересности» связан с определённым конечным списком «интересных свойств натуральных чисел», и этот список содержит в себе свойство «наименьшее число, не имеющее ни одного свойства из данного списка», то возникает парадокс. Похожим образом самореференция используется в близкородственном  ПАРАДОКСЕ БЕРРИ. Так как парадокс лежит в определении понятия «интересно», он применяется только к людям с определённым взглядом на числа; если для кого-то все числа представляются скукой смертной и он не находит интересным факт, что ноль является первым неинтересным числом (в мировоззрении данного конкретного человека), тогда парадокс не возникает.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ.

ЗАГАДКА МОНТИ ХОЛЛА : какую дверь вы выберете? ПАРАДОКС МОНТИ ХОЛЛА — одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Эта задача не является парадоксом в узком смысле этого слова, так как не содержит в себе противоречия, она называется парадоксом потому, что её решение может показаться неожиданным. Более того, многим людям бывает сложно принять правильное решение даже после того, как его им рассказали.
Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:
Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?
После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу (см. ниже).
Наиболее популярной является задача с дополнительным условием[5] — участнику игры заранее известны следующие правила:
автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей;
ведущий знает, где находится автомобиль;
ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

ПАРАДОКСЫ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ПРЕДСТАВИТЕЛЬСТВА В США:
Некоторые системы представительства могут иметь последствия, идущие против интуиции:
ПАРАДОКС АЛАБАМЫ. Парадокс Алабамы (англ. Alabama paradox) — первый обнаруженный парадокс пропорционального распределения (системы выборов). После переписи населения 1880 года главный клерк Бюро переписи населения США, вычисляя распределение мест в Конгрессе при изменении их количества от 275 до 350 обнаружил, что штат Алабама получает 8 мест из 299 и только 7 из 300. Вообще Алабамский парадокс относится к любому виду пропорционального распределения, где увеличение общего количества приводит к уменьшению одной из долей. Причина кроется в том, что увеличение общего числа на долю более населённых («больших») штатов приходится больший прирост, чем для менее населённых («маленьких»). Большие штаты A и B получили увеличение своего числа мест на большую величину, чем маленький штат C. Таким образом, у маленького штата после округления по методу Гамильтона пропадает голос.
Парадокс возникает из-за методов округления, а именно из-за применения метода Гамильтона.

ПАРАДОКС НОВЫХ ШТАТОВ.
Парадокс новых штатов (англ. New States Paradox) наблюдался в США, где при добавлении новых штатов некоторые прежние штаты получали больше представителей в конгрессе, хотя естественно было ожидать, что, поскольку число членов конгресса возрастает пропорционально населению нового штата, его добавление не повлияет на число представителей существующих штатов. Оклахома стала штатом в 1907 году. До её вступления, с 1900 года в палате представителей было 386 мест. Общее число избирателей составляло 74 562 608 человек, и каждый депутат представлял 193 167 человек.
В Оклахоме было около миллиона жителей, имевших право голоса. Ожидалось, что она просто получит 5 представителей, увеличив их общее число до 391, не повлияв на распределение представителей от других штатов. Однако, при использовании метода Гамильтона возникла парадоксальная ситуация. Применив его к 391 месту, получили 5 мест для Оклахомы, 4 для штата Мэн и 37 для штата Нью-Йорк. До вступления Оклахомы в союз, штат Нью-Йорк имел 38 мест, а штат Мэн всего 3. Таким образом, присоединение Оклахомы привело к переходу одного места в конгрессе от штата Нью-Йорк к штату Мэн.
Парадокс возникает из-за методов округления, а именно из-за применения метода Гамильтона.

 ПАРАДОКС ГОЛОСОВАНИЯ (ПАРАДОКС КОНДОРСЕ/Arrow’s paradox(англ.)): Нельзя совместить все требования к избирательной системе в одной системе.  Парадокс Кондорсе - парадокс теории общественного выбора, впервые описан маркизом Кондорсе в 1785 году.
Он заключается в том, что при наличии более двух альтернатив и более двух избирателей коллективная ранжировка альтернатив может быть цикличной (не транзитивна), даже если ранжировки всех избирателей не являются цикличными (транзитивны). Таким образом, волеизъявления разных групп избирателей, каждая из которых представляет большинство, могут вступать в парадоксальное противоречие друг с другом.
Обобщён теоремой «о невозможности» Эрроу в 1951 году.
На практике идея о необходимости ранжирования кандидатов реализована в голосовании по методу Шульце.

ПАРАДОКС ЛИФТА (англ.): Лифты чаще всего ходят в одном направлении — от середины здания вниз к подвалу и вверх к чердаку. Парадокс лифта — парадокс, впервые отмеченный Марвином Стерном и Георгием Гамовым, физиками, которые работали в офисах на разных этажах многоэтажного здания. Гамов, офис которого располагался в нижней части здания, заметил, что лифт, первым приезжающий на его этаж, чаще всего двигается вниз. В то время как Стерн, с офисом в верхней части здания, заметил, что первый лифт, который останавливается на его этаже, чаще всего идёт вверх.
На первый взгляд, это создавало впечатление, что кабины лифта создавались в середине здания и отправлялись вверх на крышу и вниз в подвал, где демонтировались. Очевидно, что это было не так. В настоящих зданиях присутствуют сложные факторы, такие как тенденция в работе лифтов, когда они часто требуются на нулевом или первом этаже, и возвращаются туда, когда простаивают. Эти факторы приводят к сдвигу частот наблюдаемых прибытий, но не устраняют парадокс полностью. В частности, пользователь ближе к верхнему этажу будет наблюдать парадокс ещё сильнее, так как лифты нечасто присутствуют или необходимы выше его этажа.
Есть и другие отличия реального здания. Например, однобокий спрос — когда все хотят спускаться вниз в конце рабочего дня, пропуск полными лифтами дополнительных остановок или влияние коротких поездок, когда лифт бездействует.

 ПАРАДОКС ОЖИДАНИЯ: Почему иногда приходится ждать автобус дольше, чем нужно. (пояснение смотрите в англ. статье Renewal theory). Инспекционный парадокс [ править ]
Любопытная особенность процессов обновления заключается в том, что если мы подождем некоторое заранее определенное время t, а затем увидим, насколько велик интервал обновления, содержащий t , мы должны ожидать, что он обычно больше интервала обновления среднего размера.  Математически парадокс проверки гласит: для любого t> 0 интервал обновления, содержащий t, стохастически больше, чем первый интервал обновления. То есть для всех x > 0 и для всех t > 0:

 ИГРА В НЕТРАНЗИТИВНЫЕ КОСТИ (англ.): существует набор из 3 костей А, В и С таких, что чаще всего на А выпадает бо;льшее число, чем на В; на В чаще выпадает бо;льшее число, чем на С; на С чаще выпадает бо;льшее число, чем на А.
Набор игральных костей нетранзитивен, если он состоит из трёх игральных костей A, B и C, для которых результат бросания кости A с вероятностью свыше 50 % больше результата бросания кости B, результат бросания кости B с вероятностью свыше 50 % больше результата бросания кости C, однако утверждение о том, что результат бросания кости A с вероятностью свыше 50 % больше результата бросания кости C, является ошибочным. То есть набор игральных костей нетранзитивен, если для него бинарное отношение «выпадения большего числа с вероятностью более 50 %» не является транзитивным.
Существуют наборы игральных костей с более выраженным свойством, в которых для каждой кости есть другая, при бросании которой с вероятностью более 50 % будет получено большее число. При использовании транзитивных костей преимущество в игре имеет первый игрок, который может выбрать кость, результат броска которой с вероятностью минимум 50 % будет больше результата броска любой другой кости из набора. В случае же использования набора нетранзитивных костей, приведенного выше, преимущество получает второй игрок, который, независимо от выбора первого игрока, может выбрать из оставшихся костей такую, бросание которой с вероятностью 5/9 превысит результат первого игрока.

    ПАРАДОКС ЛИНДЛИ (англ.): маленькие ошибки в нулевой гипотезе сильно возрастают, если анализируются большие массивы данных, приводя к ложным, но одновременно точным со статистической точки зрения результатам. Парадокс Линдли — это контринтуитивная ситуация в статистике, при которой байесовский и частотный подходы к задаче проверки гипотез дают различные результаты при определённых выборах априорного распределения. Проблема разногласия между двумя подходами обсуждалась в книге Гарольда Джеффриса 1939 года. Проблема стала известна как парадокс Линдли после того, как Деннис Линдли высказал несогласие с парадоксом в статье 1957.
Хотя ситуация описывается как парадокс, различие байесовского и частотного подходов можно объяснить как использования их для ответа на фундаментально различные вопросы, а не действительного разногласия между двумя методами.
Как бы то ни было, для большого класса априорные разности между частотным и байесовским подходами вызваны сохранением уровня значимости. Как Линдли понял: «теория не может обосновать практику сохранения уровня значимости» и даже «некоторые вычисления, сделанные профессором Пирсоном в обсуждении этой статьи подчёркивают, насколько уровень значимости может меняться с изменением размера выборки, если потери и априорные вероятности остаются неизменными»[2]. Фактически, если критичное значение растёт с ростом размера выборки достаточно быстро, рассогласование между частотным и байесовским подходами становится ничтожным[3][4].

ПАРАДОКС ПРОПАВШЕГО ДОЛЛАРА (англ.): Неправильная логика приводит к тому, что один доллар «пропадает».
Отсутствующий доллар загадка известная загадка , которая включает в себя неформальную ошибочность . Это относится, по крайней мере, к 1930-м годам, хотя подобные головоломки гораздо старше.
Хотя формулировка и особенности могут измениться, головоломка проходит по следующим направлениям:
Трое гостей заселяются в гостиничный номер. Менеджер говорит, что счет составляет 30 долларов, поэтому каждый гость платит 10 долларов. Позже менеджер понимает, что счет должен был составить всего 25 долларов. Чтобы исправить это, он дает посыльному 5 долларов в виде пяти однодолларовых банкнот для возвращения гостям.
По пути в комнату гостей, чтобы вернуть деньги, посыльный понимает, что он не может поровну разделить пять однодолларовых банкнот между тремя гостями. Поскольку гости не знают об общей сумме пересмотренного счета, посыльный решает просто вернуть каждому гостю 1 доллар и оставить себе 2 доллара в качестве чаевых для себя, и приступает к этому.
Поскольку каждый гость получал 1 доллар обратно, каждый гость платил только 9 долларов, в результате чего общая сумма уплачивалась до 27 долларов. Посыльный сохранил 2 доллара, которые, если прибавить к 27 долларам, доходят до 29 долларов. Так что, если гости первоначально передали 30 долларов, что случилось с оставшимися 1 долларом?
Кажется, есть расхождение, поскольку не может быть двух ответов (29 и 30 долларов) на математическую задачу. С одной стороны, это правда, что 25 долларов в регистре, 3 доллара возвращаются гостям, а 2 доллара, хранящиеся у посыльного, составляют до 30 долларов, но с другой стороны, 27 долларов, выплачиваемых гостями, и 2 доллара, оставленные посыльный составляет всего 29 долларов.
Решение: Неверное направление в этой загадке находится во второй половине описания, где несвязанные суммы складываются вместе, и слушатель предполагает, что эти суммы должны составлять до 30, а затем удивляется, когда их нет ; - на самом деле, нет причины, по которой сумма (10 ; 1)  ; 3  + 2 = ;29 должна составлять до 30.

ПАРАДОКС КОРРЕЛЯЦИИ: Вполне возможно сделать ложные заключения из корреляции. К примеру, города с бОльшим количеством церквей имеют больше преступлений, потому что оба фактора следуют из бОльшего населения. Это называется ложной корреляцией.
Корреляция (от лат. correlatio «соотношение, взаимосвязь»), или корреляционная зависимость — статистическая взаимосвязь двух или более случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин.

ФЕНОМЕН УИЛЛА РОДЖЕРСА: математическое понятие среднего, определённое как среднее арифметическое, или как медиана — неважно, приводит к ПАРАДОКСАЛЬНОМУ РЕЗУЛЬТАТУ — например, возможно переместить статью из Википедии в Викицитатник так, чтобы средняя длина статьи увеличилась на обоих сайтах! Феномен Уилла Роджерса — кажущийся парадокс, заключающийся в том, что перемещение (численного) элемента из одного множества в другое может увеличить среднее значение обоих множеств.
Название основывается на цитате, приписываемой американскому комику Уиллу Роджерсу: «Когда оки покинули Оклахому и переехали в Калифорнию, то повысили средний интеллект обоих штатов».

ПАРАДОКС РАЙТА (англ.): Ребёнок стареет быстрее, чем старик, так как удвоение возраста — более частое явление в начале процесса, чем в конце.

ПАРАДОКС МАЛЯРА: Бесконечную по площади пластинку можно окрасить конечным количеством краски. Утверждение «для того, чтобы покрасить фигуру бесконечной площади, необходимо бесконечное количество краски» исходит из того, что фигура покрывается слоем краски одинаковой толщины.
Предлагаемый же способ окраски предполагает, что каждый следующий сегмент будет покрыт всё более тонким слоем, так что бесконечная сумма объёмов краски, ушедших на каждый сегмент площадью в 3,14  кв. см, будет сходиться к конечному значению.
При этом нужно иметь в виду, что предложенное математическое решение не учитывает тот физический факт, что слой краски не может иметь толщину меньше размера одной молекулы краски. Так как построенный описанным способом сосуд будет книзу сужаться до бесконечно малых диаметров, то при «заливке» краски в такой сосуд эта краска просто не «затечёт» в те его области, диаметр которых меньше диаметра молекулы краски. И тем не менее, с точки зрения математической модели, не учитывающей физические аспекты устройства нашего мира, описанное решение является верным, несмотря на парадоксальность.
Возможно, может показаться абсурдным, что сосуд бесконечной длины может иметь конечный объём (в данном случае 2*3,14), да при этом ещё и вмещать в себя пластинку, площадь которой бесконечна. Но дело в том, что длина, площадь и объём — это разные величины. В математических моделях вполне возможны фигуры, имеющие бесконечную площадь при конечном объёме (или бесконечную длину при конечной площади).