В этой статье я собрала всю теорию, которая понадобится для решения задачек по треугольникам в первой части (номер 15 в КИМе)
Виды треугольников
Для начала разберёмся, что такое треугольник, как он выглядит и из чего состоит.
Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, которые соединены между собой отрезками.
Точки, с которых начиналось построение, называются вершинами треугольника, а отрезки, соединяющие вершины, — сторонами треугольника.
Треугольники бываю разных видов.
- В зависимости от углов: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.
- В зависимости от сторон: разносторонний, равнобедренный (2 стороны равны) и равносторонний
(Далее рассмотрим некоторые виды подробней)
Общие свойства треугольников
- Сумма углов в треугольнике равна 180°
- В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон
- В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против меньшего угла лежит меньшая сторона и наоборот
Свойства 2 и 3 не понадобятся в решении заданий первой части, но могут пригодится в номере 19, где надо выбрать верные утверждения.
Первое свойство применяется очень часто, поэтому его необходимо знать. Когда в задаче вам даны 2 угла в треугольнике, всегда можно найти 3 угол, используя их сумму.
Примеры задач и их решений:
В треугольнике два угла равны 72° и 42°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
Решение: 180° - (72° + 42°)=66°
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 21°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
Решение: поскольку треугольник - прямоугольный, один из его углов равен 90°. Следовательно 180° - (90° +21°) = 69°
Внешний угол
- Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним
- Сумма внутреннего и внешнего угла при одной вершине равна 180° (смежные углы)
Если вы знаете про сумму углов в треугольнике и смежные углы, то с лёгкостью решите задачу с внешним углом, даже не используя его свойств
Примеры задач и их решений:
В треугольнике ABC угол C равен 115°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах. (смотри рисунок выше)
Решение: внутренний и внешний углы при вершине С являются смежными, поэтому их сумма равна 180°.
Следовательно внешний угол будет равен 180° - 115° = 65°
Линии в треугольнике
В этом разделе речь пойдёт о биссектрисе, медиане, высоте и средней линии.
1. Биссектриса
Биссектриса треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делит угол при этой вершине пополам.
Или, проще говоря, линия, которая делит угол пополам.
Для решения задач первой части достаточно знать только это. Плюс вы можете запомнить такое свойство: биссектрисы пересекаются в одной точке, и эта точка является центром вписанной в треугольник окружности. Оно пригодится для 19 номера.
Для запоминания придумали стишок: биссектриса - это крыса, которая бегает по сторонам и делит угол пополам
2. Медиана
Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
То есть, медиана - это линия, которая делит сторону пополам.
3. Высота
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или на её продолжение).
Высота образует угол 90° со стороной, к которой она проведена
Высоту принято обозначать h.
4. Средняя линия
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Свойства:
- Средняя линия параллельна третьей стороне треугольника.
- Средняя линия равна половине третьей стороны.
Примеры задач и их решений:
Задача 1.
В треугольнике ABC известно, что угол BAC=68°, AD – биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах
Решение: так как биссектриса делит угол пополам, угол BAD = 68° : 2 = 34°
Задача 2.
В треугольнике ABC известно, что AC=14, BM – медиана, BM=10. Найдите АM.
Решение: так как медиана делит сторону пополам, AM = 14 : 2 = 7
Задача 3.
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, угол BAC=37°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.
Решение: поскольку высота образует прямой угол, то в треугольнике ABH угол ABH будет равен 180°-(90°+37°) = 53°
Площадь треугольника
Для нахождения площади треугольника надо знать несколько формул и уметь их применять. Формулы есть в справочных материалах, так что на экзамене их можно будет подсмотреть.
Для решения задач первой части, вам пригодятся формулы 1,2,4,6 и 7 с картинки.
Примеры задач и их решений:
Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 10. Найдите площадь этого треугольника.
Решение: воспользуемся формулой площади прямоугольного треугольника (последняя на картинке): S = 1/2*4*10=20
Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника.
Решение: воспользуемся первой формулой с картинки: S = 1/2 * 16 * 19 = 152
Прямоугольный треугольник
В прямоугольном треугольнике один из углов равен 90°
Свойства:
- Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
- Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы.
- Теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы
Помимо перечисленных свойств с прямоугольным треугольников также связана одна тема, которую многие не любят - это тригонометрия. Но на самом деле в первой части задачки по тригонометрии очень простые, вам все лишь нужно запомнить, как найти синус, косинус и тангенс.
Синус = противолежащий катет/гипотенуза
Косинус = прилежащий катет/гипотенуза
Тангенс = противолежащий катет/прилежащий катет
Синус и косинус всегда больше 0, но меньше 1.
Примеры задач и их решений:
Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение: по теореме Пифагора 7^2 + 24^2 = c^2 (с - гипотенуза), решаем уравнение и получаем с = 25
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=11, AB=20. Найдите sinB.
Решение: синус равен отношению противолежащего катета на гипотенузу, следовательно sinB = 11/20 = 0,55
Равнобедренный и равносторонний треугольники
Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого 2 стороны равны.
Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона - основанием.
Свойства:
- Углы при основании равнобедренного треугольника равны
- Биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, совпадают и являются одной линией (это показано на рисунке)
Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны.
Свойства:
- Все углы равны по 60°
- Каждые биссектрисы, медианы и высоты, поведённые к одной стороне, совпадают и являются одной линией
Также необходимо знать и уметь пользоваться формулами для нахождения высоты (медианы, биссектрисы), площади и радиусов вписанной и описанной окружностей. (эти формулы есть в справочных материалах)
Примеры задач и их решений:
Задача 1.
В треугольнике ABC известно, что AB=BC, угол ABС=106°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.
Решение: найдём сумму углов при основании 180° - 106° = 74°, далее делим на 2, чтобы найти каждый угол 74° : 2° = 37°
Задача 2.
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 129°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Решение: найдём внутренний угол при вершине C, он смежный с внешним, поэтому 180° - 129° = 51°. Углы при основании равны, следовательно угол ABC равен 180° - (51°+51°) = 78°