Рассказывает редактор отдела научных коммуникаций ЮУрГУ Остап Давыдов:
Со школьной парты многие помнят, что есть два необычных иррациональных числа, имеющих собственные имена – «пи» и «е».
Но если число пи появляется ещё в 7-8 классах, и к нему школьники успевают привыкнуть, то число е проходят в последнем, 11 классе, в связи с логарифмами.
Поэтому часто человек помнит, что е – это «два и семь с чем-то», а для чего оно нужно – нет.
Число е – иррационально или трансцендентно. В данном случае эти два слова синонимы и означают они, в частности, что записать число е в строчку до конца не получится. Разве что бесконечный хвост заменить многоточием.
e=2,7182818284590452353602874713527…
Почему число е так называется?
Возможных версий две.
Первая – в честь русского математика немецкого происхождения Леонарда Эйлера. Он жил в 18 веке.
Вторая – в честь слова «экспонента». Экспонентой принято называть функцию y = e^x. (Здесь и далее галочка означает показатель степени).
Тот, кто знает английский, удивится: expose – значит показывать, представлять на выставке? Кто же положил экспоненту под витрину? На этот вопрос (как и причём здесь Эйлер) мы ещё ответим в ходе статьи.
Как Бернулли проценты начислял
Есть легенда о том, что Якоб Бернулли столкнулся с числом е в задаче, связанной с начислением банковских процентов.
Допустим мы вложили в банк 1 рубль (во времена Бернулли, вероятно, экю). Щедрый банк предлагает вам 100% дохода. Если начисление происходит раз в год, получится 1+1 – два рубля.
Если щедрые проценты начисляются дважды в год: (1 +1/2)^2=2.25.
Если раз в квартал: (1 +1/4)^4=2.44…
А если каждый месяц: (1+1/12)^12= 2.613….
А если каждый день: (1+1/365)^365=2.714…
Жадность требует всё скорее и скорее (не забудьте, что-то взимают еще за банковские услуги).
Но как бы то ни было, не только 3 рубля, но и 2 рубля 80 копеек за год таким образом не заработаешь.
Чем чаще будут выплаты, тем дальше сумма будет расти, но при этом приближаться к «волшебному» числу е= 2.718281828….
Первокурсник ЮУрГУ, который готовится сдавать летом высшую математику или матан, узнает здесь «второй замечательный предел»: при n стремящемся к бесконечности (1+1/n)^n сходится к числу е.
Как число е представляет компьютер?
Для того чтобы получать приближённое значение функции с любой угодной точностью, компьютеру лучше представлять его в виде бесконечной суммы. Когда изменение этой суммы станет меньше, чем заданная погрешность, вычисления можно остановить.
Напомним ещё одно математическое действие – факториал.
1=1!
1*2=2!
1*2*3=6=3!
1*2*3*4=24=4!
….
1*2*3*4*5*….* n = n! (читается «эн-факториал»).
(для удобства записи добавим правило 0!=1)
Итак, 1+1/1+1/(1*2)+1/(1*2*3)+1/(1*2*3*4) +…+1/n! = е
И даже 1 + x + x^2/2! + x^3/3! +… +x^n/n! = e^x.
Но студентов ЮУрГУ и этим не удивишь. Тот, кто уже начал готовиться к летней сессии, хотя бы записывать формулы на шпаргалку или забивать их в телефон, узнает здесь ряд Тейлора.
Есть и более причудливые способы вычисления е – с помощью формулы Стирлинга, интегралов, дробей с бесконечно делящимся знаменателем, но формат статьи не позволяет поместить их.
Что такое экспоненциальный рост?
Не только в научных работах, но и в прессе, например, в экономических статьях часто можно услышать слова «линейный рост», «полиномиальный рост», «экспоненциальный рост».
Что это значит? Линейный рост – такой, что он задается прямой линией. Например, y=x. Ни шатко, ни валко.
Квадратичный рост. Помните школьную параболу ветвями вверх – y = x^2? Пройдя точку (1,1) парабола вырывается на простор, и убегает вверх гораздо быстрее прямой. А кубическая функция y=X^3 ещё быстрее. А y= x^n, n > 3 – ещё быстрее. Такой рост называется полиномиальным (то есть функция может быть задана полиномом, многочленом, суммой иксов в степенях и с коэффициентами).
А ещё быстрее «показательный» рост. Например, у функции y = е^x – она же экспонента. Такой рост ещё называется экспоненциальным (одно и то же слово по-русски и по-латыни).
Те, кто изучал понятие «производная» знают, что оно обозначает скорость роста функции. Так вот производная (e^x)’=e^x, то есть экспонента растёт со скоростью равной самой себе.
Можно было конечно взять функцию «миллион в степени х», но тогда у ее производной сбоку повис бы коэффициент от натурального логарифма (с основанием е), а это неудобно.
Так что принципиально «экспоненциальный» или «показательный» рост – быстрее всех (из рассмотренных, конечно, но на практике это и значит самый быстрый). Представьте, идет отряд, а кто-то бежит впереди и дорогу показывает. Говорят, за это экспоненту и прозвали экспонентной.
А можно ее как чемпиона и на выставку.
Кстати, обратная функция к экспоненте – натуральный логарифм. И здесь производная тоже «наглядна»: (ln x)’=1/x. То есть скорость роста обратно пропорциональна линейной функции.
Мост, который построил Эйлер
Любопытно наблюдать, как увлеченный математикой школьник или младшекурсник впервые встречает формулу Эйлера:
e^{ix} = cos x + i sin x
Но постойте! Синус и косинус – это отношения катетов к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Ладно, есть распространение понятия синуса и косинуса на любую величину угла, сначала от 0 до 360 градусов на тригонометрическом круге, затем с помощью формул приведения – до бесконечности, то же и в отрицательном направлении. Однако даже тогда синус и косинус – волны, которые не выходят за ограничительные линии проведённые через y=1 и y=-1.
А экспонента – она же вверх и вжух!
И кстати, что такое i? Это корень из минус единицы, i = imagine, воображаемое число, такое что i^2=-1. Благодаря ему открывается мир комплЕксных (с ударением на е, а не на о) чисел.
Мы уже писали про число i в блоге «Наука в ЮУрГУ», в статье «Какие бывают числа?» [гиперссылка]
Там мотивация его возникновения сводилась к алгебре: нужно было чтобы уравнение n-й степени имело ровно n корней. К.Ф. Гаусс назвал это «основной теоремой алгебры».
Но причем тут алгебра, когда речь о косинусах, синусах из геометрии и экспоненте?
Доказывать можно разными путями, используя геометрическое представление комплексных чисел или с помощью ряда Тейлора (два ряда – с четными и нечетными степенями и аргументами факториалов сложатся и дополнят друг друга).
Радостно наблюдать, когда фундаментальные математические понятия из разных областей вдруг оказываются связаны между собой.
Можно с помощью формулы Эйлера «подружить» три знаменитых числа i, e и пи.
e^{i*пи}= -1
Эта формула приоткрывает дверь на лестницу к новому этажу матана – теории функции комплексного переменного. Русские студенты называют эту науку аббревиатурой ТФКП, на западный манер – комплексный анализ. Интегралы, производные в ней выглядят похоже, но складываются в новые причудливые правила.
И конечно это важно не только для прихоти математиков. Комплексный анализ нужен практически во всех направлениях современной физики – от механики до оптики.
Наконец, мы можем ответить на вопрос, почему по одной из версий число е названо в честь Леонарда Эйлера. Он эту честь заслужил, проложив мост между разными математическими науками. Впрочем, он открыл и заслужил многое-многое другое!
Число е не менее любимо физиками (как минимум потому что логарифмирование позволяет превращать произведения в суммы, а натуральные логарифмы избавляют от лишних коэффициентов).
Мы же можем радоваться красоте природы, в законы которой так интересно встроены фундаментальные константы.