Профессор Норман Уайлдбергер из Университета Нового Южного Уэльса в Сиднее представил революционный способ решения полиномиальных уравнений высших степеней — задачи, над которой математики ломают головы не одно тысячелетие. Вместе с доктором Дином Рубайном он опубликовал свою работу в авторитетном журналеThe American Mathematical Monthly.
Полиномиальные уравнения, такие как 1 + 4x – 3x² = 0, лежат в основе не только чистой математики, но и многих прикладных дисциплин — от небесной механики до программирования. Однако универсального метода для решения уравнений, где переменная x возводится в пятую или более высокую степень, до сих пор не существовало. Французский математик Эварист Галуа в XIX веке доказал, что такие уравнения не поддаются решению с помощью традиционных формул с корнями.
Решения, существующие сегодня, как правило, приближённые и не считаются частью «чистой» алгебры. Именно с этой точки зрения профессор Уайлдбергер решил переосмыслить фундаментальный подход. Его подход — это отказ от традиционных радикалов (корней) и иррациональных чисел. По мнению математика, иррациональные числа основаны на идее бесконечности, которую он считает логически проблемной. «Чтобы получить кубический корень из 7, вам понадобился бы жёсткий диск больше Вселенной», — иронизирует он.
Вместо этого Уайлдбергер использует степенные ряды — бесконечные суммы, состоящие из степеней переменной x. Уравнения решаются путём усечения этих рядов, что позволяет получать точные приближённые значения. По его словам, метод успешно прошёл проверку на классическом кубическом уравнении из XVII века, использовавшемся самим Исааком Ньютоном.
Ключом к новому методу стал новый числовой массив, который авторы назвали Geode. Он представляет собой обобщение известной последовательности Каталана — набора чисел, описывающих, например, способы разбиения многоугольника на треугольники. Geode расширяет эту идею в многомерное пространство и позволяет описывать более сложные геометрические и алгебраические структуры.
«Это не просто решение. Это пересмотр целой главы истории алгебры», — говорит Уайлдбергер. Его подход не только предлагает решения даже для уравнений пятой степени (quintic), но и может лечь в основу новых вычислительных алгоритмов. Это особенно важно для разработки программного обеспечения, которому теперь не нужно будет оперировать с бесконечными десятичными числами и радикалами.
Исследователи уверены: массив Geode станет предметом изучения ещё многих поколений комбинаториков и теоретиков. По словам Уайлдбергера, это только начало новой эры в алгебре.