Чтобы понять открытые квантовые системы, нужно тщательно выбирать математический аппарат
Открытые квантовые системы — это квантовые системы, взаимодействующие с окружающей средой, обмениваясь энергией и информацией. Они являются предметом интенсивных теоретических и экспериментальных исследований, поскольку раскрывают всю сложность квантовой механики — от декогеренции до эффектов измерений. Открытые системы также дают более реалистичное описание квантовых устройств, таких как квантовые компьютеры и симуляторы, в которых можно контролировать лишь часть системы, а внешние шумы и возмущения необходимо как-то учитывать.
Несмотря на их значимость, найти точное математическое описание открытых квантовых систем — особенно с целью предсказания их эволюции во времени — остаётся нерешённой задачей. В настоящее время используются два основных подхода, оба из которых начинаются с рассмотрения управляемой квантовой системы, связанной с более крупной неконтролируемой средой (так называемой «ванной»).
Уравнения мастера
Первый подход заключается в том, что — хотя саму ванну смоделировать напрямую невозможно — её влияние можно учесть путём добавления дополнительных членов в уравнения движения системы. Это справедливо лишь при определённых предпосылках: слабом взаимодействии, начальной раздельности системы и ванны, а также высокой степени случайности, обеспечивающей отсутствие памяти у ванны о прошлых взаимодействиях. Это приводит к так называемым уравнениям мастера, таким как уравнение Линдблада, описывающим как унитарную динамику системы (в предположении изолированности), так и диссипативные процессы, вызывающие постепенную декогеренцию и внезапный коллапс квантового состояния под влиянием ванны.
Нермитовы гамильтонианы
Второй подход напрямую вводит процессы потерь и усиления в оператор энергии системы — гамильтониан. Однако это делает гамильтониан нермитовым, нарушая один из главных принципов стандартной квантовой механики: требование, чтобы спектр энергии был вещественным, а эволюция во времени сохраняла вероятность. Суть проблемы в том, что в отличие от эрмитовой квантовой механики, где гамильтониан совпадает со своим эрмитовым сопряжением и содержит всю информацию о системе, нермитов гамильтониан распределяет информацию между двумя различными объектами — левыми и правыми собственными векторами. Если учитывать только правые собственные векторы — как это часто делается — мы получаем лишь половину полной структуры, необходимой для описания динамики системы. В результате, при рассмотрении только временной эволюции правых собственных векторов, вероятности перехода между состояниями могут превышать единицу, что приводит к противоречиям, требующим тщательной проработки.
Биортогональная квантовая механика
Один из способов избежать этих проблем — использовать биортогональную квантовую механику, где левые и правые собственные векторы рассматриваются на равных правах, что позволяет последовательно определять скалярные произведения и вероятности. В особых случаях, например в PT-симметричных системах — где комбинированное действие паритета (P) и обращения времени (T) оставляет гамильтониан инвариантным — возможно, чтобы нермитов гамильтониан имел полностью вещественный спектр, сохраняя многие черты обычной квантовой механики несмотря на свою нермитовость.
Проблема с динамикой
Описанные подходы хорошо работают при анализе спектра энергии нермитовых гамильтонианов и их статических свойств. Однако при переходе к динамике остаётся проблема некорректно определённых вероятностей.
Долгое время стандартным решением было просто нормировать квантовое состояние вручную на каждом шаге по времени, восстанавливая общую вероятность до единицы. Но в последнее время появился альтернативный подход: модификация фундаментального скалярного произведения, используемого для определения вероятностей. Вместо стандартного скалярного произведения вводится новая метрика — тщательно подобранный оператор, переопределяющий понятие расстояния и вероятности в пространстве состояний. Эта метрика естественным образом включает в себя как гамильтониан, так и его эрмитово сопряжение, что позволяет сохранять вероятность динамически, без необходимости ручной нормировки.
Две стороны одной медали?
На первый взгляд, эти два подхода — уравнения мастера и нермитовы гамильтонианы — выглядят как полностью различные точки зрения. Однако между ними существуют тонкие связи. Например, можно получить эффективный нермитов гамильтониан из уравнения мастера, пренебрегая определёнными диссипативными членами, которые стохастически коллапсируют состояние — так называемыми скачкообразными терминами (jump terms).
Но всё не так однозначно. Нермитовы гамильтонианы — это не всегда приближение. Иногда удаётся установить однозначное соответствие между уравнением мастера и нермитовым гамильтонианом, без каких-либо приближений. Более того, можно специально «встроить» нермитовость в систему, используя дополнительную систему (анциллу) и выполняя селективные измерения по методу дилатации Наймарка. В этом зоопарке различных математических подходов всё важнее становится прояснить, какой метод применим в каком случае и как они между собой связаны.
Прояснение вопросов об открытых квантовых системах
В нашей недавней рецензируемой статье мы исследовали совместимость различных математических описаний открытых квантовых систем. В частности, мы сравнили полную временную эволюцию, описанную уравнением мастера, динамику в приближении без скачков (с ручной нормировкой состояний), а также самосогласованную динамику, зашитую в метрическое уравнение. В качестве тестовой модели мы рассмотрели простую двухуровневую систему (т.е. кубит) с диссипативными терминами и измерениями, которые можно легко реализовать в современных экспериментах — например, с ионами в ловушках.
Наши результаты выявили сложную картину. В некоторых режимах — особенно там, где PT-симметрия сохранена или почти сохранена — все три метода дают удивительно согласованные результаты. Но в других — особенно при сильной диссипации или нарушении PT-симметрии — появляются очевидные расхождения. Примечательно, что метод нормировки на модуль хорошо согласуется с уравнением мастера в условиях диссипации, тогда как метрический подход становится необходимым при специально сконструированных нермитовых системах, где важна полная вероятностная структура.
Наше исследование также показывает, что метрическая формализация естественным образом расширяет биортогональную квантовую механику на динамические случаи. Вводя в расчёт эволюцию как левых, так и правых собственных векторов, метрическое уравнение обеспечивает полностью согласованное и физически осмысленное описание нермитовой динамики — за пределами того, что может дать статическая биортогональность.
Квантовый молоток или квантовый скальпель?
Кроме того, что мы описали, когда применим каждый из трёх методов, наше сравнительное исследование помогает понять, что именно каждый из них означает. Представляет ли ваш нермитов гамильтониан физическую реальность или это просто вычислительное приближение? Ответ на этот вопрос определяет, какому формализму можно доверять.
Наши результаты показывают, что когда нермитовость — это эффективное описание, происходящее из диссипативных процессов (и квантовые скачки можно безопасно игнорировать), наилучшая стратегия — это ручная нормировка, особенно в фазе с нарушенной PT-симметрией. Этот метод крайне прост в реализации и даёт хорошие качественные результаты, близкие к уравнению мастера. С другой стороны, когда нермитовость намеренно встроена в систему, например через дилатацию Наймарка, становится крайне важно учитывать полную метрическую динамику для сохранения согласованного квантового описания. Такой подход раскрывает более глубокие физические структуры, включая появление обобщённых операторов преобразования, которые были бы скрыты при наивной нормировке.
Что дальше?
Надеемся, что наша работа станет первым каталогом всех инструментов, которыми мы располагаем для изучения квантовых систем, выходящих за рамки стандартной эрмитовой модели. Этот каталог будет расширяться в ближайшие годы — по мере того как мы будем узнавать больше о поведении открытых квантовых систем, а также о том, как их можно конструировать. Быстрый прогресс в таких экспериментальных платформах, как фотонные схемы, холодные атомы и ионы в ловушках, постоянно переопределяет и расширяет спектр реализуемых диссипативных динамик в квантовых компьютерах, датчиках и симуляторах. Наша теория должна не отставать и быть достаточно гибкой, чтобы адаптироваться к новым способам сопряжения квантовых систем с их окружением.
Пока ещё не существует единственно «правильного» подхода к нермитовой динамике, но наше исследование начинает выстраивать карту: карту, соединяющую физику потерь, усилений и измерений с математическими структурами, которые их описывают.
Если вы хотите читать больше интересных историй, подпишитесь пожалуйста на наш телеграм канал: https://t.me/deep_cosmos