Параметрические уравнения прямой — это способ задать прямую в пространстве (на плоскости или в трехмерном пространстве) с помощью одного параметра. Вместо того, чтобы давать явное уравнение вида y = kx + b (на плоскости) или систему уравнений (в пространстве), параметрические уравнения выражают координаты точек на прямой через параметр, обычно обозначаемый как t.
1. На плоскости (2D):
Чтобы задать прямую на плоскости параметрически, нам нужны:
- Направляющий вектор прямой: Вектор v = (a, b), параллельный прямой.
- Точка на прямой: Точка M0(x0, y0), лежащая на прямой.
Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид:
- x = x0 + at
- y = y0 + bt
Где:
- (x, y) - координаты произвольной точки на прямой.
- (x0, y0) - координаты известной точки на прямой.
- (a, b) - компоненты направляющего вектора.
- t - параметр, принимающий все действительные значения (-∞ < t < +∞).
При изменении параметра t, точка (x, y) перемещается вдоль прямой.
Пример:
Пусть прямая проходит через точку M0(1, 2) и имеет направляющий вектор v = (3, -1). Тогда параметрические уравнения прямой будут:
- x = 1 + 3t
- y = 2 - t
2. В пространстве (3D):
Аналогично, для прямой в трехмерном пространстве, нам нужны:
- Направляющий вектор прямой: Вектор v = (a, b, c), параллельный прямой.
- Точка на прямой: Точка M0(x0, y0, z0), лежащая на прямой.
Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид:
- x = x0 + at
- y = y0 + bt
- z = z0 + ct
Где:
- (x, y, z) - координаты произвольной точки на прямой.
- (x0, y0, z0) - координаты известной точки на прямой.
- (a, b, c) - компоненты направляющего вектора.
- t - параметр, принимающий все действительные значения (-∞ < t < +∞).
Пример:
Пусть прямая проходит через точку M0(0, -1, 4) и имеет направляющий вектор v = (2, 1, -3). Тогда параметрические уравнения прямой будут:
- x = 0 + 2t => x = 2t
- y = -1 + t
- z = 4 - 3t
Преимущества параметрических уравнений:
- Удобство для работы с векторами: Параметрические уравнения напрямую используют направляющий вектор, что упрощает задачи, связанные с векторами.
- Обобщение на любое количество измерений: Легко расширить на пространства большей размерности.
- Представление движения: Параметр t можно интерпретировать как время, и уравнения будут описывать движение точки вдоль прямой.
Как найти параметрические уравнения, зная другие представления прямой:
- По двум точкам: Если даны две точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2) на плоскости (или M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) в пространстве), можно найти направляющий вектор как v = M2 - M1 = (x2 - x1, y2 - y1) (или v = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) в пространстве) и использовать любую из точек (M1 или M2) в качестве точки M0.
- Из канонических уравнений (в пространстве): Если прямая задана каноническими уравнениями (x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c, то можно просто приравнять все выражения параметру t: (x - x0)/a = t, (y - y0)/b = t, (z - z0)/c = t, и выразить x, y, z через t.
Параметрические уравнения прямой - полезный и универсальный инструмент для описания прямых в геометрии и смежных областях.