Взвешенное среднее — это способ вычисления среднего значения, где разные элементы имеют разную "важность" (вес). В геометрии оно часто используется для нахождения отрезков, площадей и других величин, зависящих от пропорций.
1. Основная формула взвешенного среднего
Если у нас есть два числа AA и BB с весами mm и nn соответственно, то их взвешенное среднее вычисляется так:
Пример (из жизни):
- Допустим, у тебя две оценки за четверть:
- Контрольная работа (вес 3) — оценка 4.
- Домашняя работа (вес 1) — оценка 5.
2. Применение в геометрии
Случай 1: Отрезок, параллельный основаниям трапеции
Дано:
- Трапеция ABCD с основаниями AD=a, BC=b.
- Прямая EF||AD||BC, пересекающая боковые стороны AB и CD в точках E и F.
- Отношение CF:DF=m:n
Найти: длину EF
Решение:
- Разобьём боковую сторону CD на части CF=m⋅x, DF=n⋅x. Тогда CD=(m+n)x.
- Формула взвешенного среднего:
(По сути, это среднее между a и b с весами m и n.)
Пример:
- AD=25, BC=15, CF:DF=3:2.
- Тогда:
3. Почему это работает?
Взвешенное среднее учитывает влияние каждой величины. В геометрии это помогает находить промежуточные значения (например, отрезки между двумя другими), если известны их пропорции.
Аналогия:
Представь, что ты смешиваешь два раствора с разной концентрацией. Итоговая концентрация зависит не только от значений, но и от их количества (веса).
Вывод
- Взвешенное среднее — это обобщение обычного среднего с учётом важности (веса) каждого значения.
- В геометрии оно помогает находить длины отрезков, координаты точек и другие величины, зависящие от пропорций.
- Формула:
Попробуй сам:
В трапеции ABCD AD=30, BC=10. Прямая EF||AD делит CD в отношении CF:DF=1:4. Найди EF.
Ответ: