Как найти направляющий вектор прямой

Направляющий вектор прямой - это вектор, параллельный этой прямой. Зная уравнение прямой, можно найти направляющий вектор разными способами, в зависимости от того, в каком виде задано уравнение.

1. Прямая на плоскости (2D):

• Общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0Направляющий вектор: (-B, A) или (B, -A)Почему? Нормальный вектор к прямой (вектор, перпендикулярный прямой) имеет координаты (A, B). Направляющий вектор перпендикулярен нормальному вектору. Векторы (-B, A) и (B, -A) перпендикулярны (A, B).Пример: 3x + 2y - 5 = 0. Направляющий вектор: (-2, 3) или (2, -3).
• Каноническое уравнение прямой: (x - x₀) / m = (y - y₀) / nНаправляющий вектор: (m, n)Здесь (x₀, y₀) - точка, лежащая на прямой.Пример: (x - 1) / 2 = (y + 3) / (-1). Направляющий вектор: (2, -1).
• Параметрическое уравнение прямой:x = x₀ + mt y = y₀ + ntНаправляющий вектор: (m, n)Здесь (x₀, y₀) - точка на прямой, t - параметр.Пример: x = 2 + 3t, y = 1 - t. Направляющий вектор: (3, -1).
• Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = kx + bНаправляющий вектор: (1, k)Пример: y = 2x + 1. Направляющий вектор: (1, 2).

2. Прямая в пространстве (3D):

• Каноническое уравнение прямой: (x - x₀) / m = (y - y₀) / n = (z - z₀) / pНаправляющий вектор: (m, n, p)(x₀, y₀, z₀) - точка, лежащая на прямой.Пример: (x - 1) / 2 = (y + 3) / (-1) = z / 4. Направляющий вектор: (2, -1, 4).
• Параметрическое уравнение прямой:x = x₀ + mt y = y₀ + nt z = z₀ + ptНаправляющий вектор: (m, n, p)(x₀, y₀, z₀) - точка на прямой, t - параметр.Пример: x = 2 + 3t, y = 1 - t, z = 5t. Направляющий вектор: (3, -1, 5).
• Прямая задана пересечением двух плоскостей: В этом случае нужно решить систему уравнений двух плоскостей:A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0Направляющий вектор можно найти как векторное произведение нормальных векторов плоскостей:Направляющий вектор = (A₁, B₁, C₁) × (A₂, B₂, C₂) = (B₁C₂ - B₂C₁, A₂C₁ - A₁C₂, A₁B₂ - A₂B₁)Пример: x + y + z = 1 и x - y = 0. Нормальные векторы: (1, 1, 1) и (1, -1, 0). Направляющий вектор: (10 - (-1)1, 11 - 10, 1*(-1) - 1*1) = (1, 1, -2)

Важные моменты:

• Направляющий вектор не единственен. Любой вектор, коллинеарный найденному, также является направляющим вектором. Например, если (1, 2) - направляющий вектор, то (2, 4), (-1, -2), (0.5, 1) - тоже направляющие векторы для той же прямой.
• При задании прямой пересечением двух плоскостей, убедитесь, что плоскости не параллельны и не совпадают (иначе у вас получится не прямая, а плоскость или пустое множество).

Краткий алгоритм:

1. Определите вид уравнения прямой.
2. В зависимости от вида уравнения, примените соответствующую формулу или метод.
3. Убедитесь, что вы правильно определили коэффициенты в уравнении.
4. При необходимости, упростите полученный вектор (например, разделите все координаты на общий делитель).