Косинус половинного угла

Формулы косинуса половинного угла позволяют выразить косинус половины угла через косинус самого угла. Существует несколько формул, но основная выглядит так:

cos(α/2) = ±√((1 + cos α) / 2)

Где:

• α - исходный угол.
• α/2 - половина этого угла.
• ± - Знак плюс или минус выбирается в зависимости от того, в какой четверти находится угол α/2.

Как определить знак?

Нужно понять, в какой четверти лежит угол α/2 и, соответственно, какой знак имеет косинус в этой четверти:

• **I четверть (0° < α/2 < 90°):** cos(α/2) > 0 (косинус положительный)
• II четверть (90° < α/2 < 180°): cos(α/2) < 0 (косинус отрицательный)
• III четверть (180° < α/2 < 270°): cos(α/2) < 0 (косинус отрицательный)
• **IV четверть (270° < α/2 < 360°):** cos(α/2) > 0 (косинус положительный)

Пример:

Допустим, нужно найти cos(π/8). Мы знаем, что π/8 = (π/4) / 2. Значит α = π/4.

1. cos(π/4) = √2 / 2
2. Применяем формулу: cos(π/8) = ±√((1 + √2 / 2) / 2)
3. Определяем знак: π/8 находится в I четверти, где косинус положительный. Значит, выбираем “+”.
4. cos(π/8) = √((1 + √2 / 2) / 2) = √( (2 + √2) / 4) = √(2 + √2) / 2

Альтернативные формы (реже используются):

Иногда можно встретить и другие формы записи, полученные путем преобразований основной формулы, но в целом они менее полезны:

• cos(α/2) = √((1 + cos α) / 2) (если известно, что α/2 в I или IV четверти)
• cos(α/2) = -√((1 + cos α) / 2) (если известно, что α/2 во II или III четверти)

Итог:

Главное - запомните основную формулу и не забывайте про знак, который выбирается в зависимости от четверти, в которой находится угол α/2.