Расстояние между скрещивающимися прямыми как найти

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина отрезка, перпендикулярного обеим прямым. Чтобы найти это расстояние, можно использовать несколько методов. Вот наиболее распространенные:

1. Метод с использованием векторного произведения и смешанного произведения:

Этот метод наиболее общий и подходит для прямых, заданных в векторной форме или параметрическими уравнениями.

• Шаг 1: Найти направляющие векторы прямых.Пусть прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями:l₁: r = r₁ + ta (или параметрически: x = x₁ + ta₁, y = y₁ + ta₂, z = z₁ + ta₃)
  l₂: r = r₂ + sb (или параметрически: x = x₂ + sb₁, y = y₂ + sb₂, z = z₂ + sb₃)
  Здесь r₁ и r₂ - радиус-векторы точек, лежащих на прямых l₁ и l₂ соответственно. a и b - направляющие векторы прямых l₁ и l₂ соответственно. t и s - параметры.
• Шаг 2: Вычислить векторное произведение направляющих векторов.Вычислите векторное произведение n = a × b. Этот вектор n перпендикулярен обеим прямым. Если n = 0, то прямые параллельны или совпадают, а не скрещиваются, и этот метод не применим.
• Шаг 3: Вычислить смешанное произведение.Вычислите смешанное произведение векторов (r₂ - r₁), a и b, которое можно записать как скалярное произведение вектора (r₂ - r₁) и векторного произведения n: (r₂ - r₁) · (a × b). Это эквивалентно определителю:|(x₂ - x₁) (y₂ - y₁) (z₂ - z₁) |
  | a₁ a₂ a₃ |
  | b₁ b₂ b₃ |
  
• Шаг 4: Найти расстояние.Расстояние d между скрещивающимися прямыми равно:d = |(r₂ - r₁) · (a × b)| / |a × b| = |(r₂ - r₁) · n| / |n|То есть, модуль смешанного произведения, деленный на модуль векторного произведения.

2. Метод с использованием общего перпендикуляра:

Этот метод более геометрический и заключается в нахождении уравнения плоскости, перпендикулярной обеим прямым.

• Шаг 1 и 2: Как в предыдущем методе, найдите направляющие векторы a и b, и вычислите векторное произведение n = a × b.
• Шаг 3: Найти уравнение плоскости.Составьте уравнение плоскости, проходящей через одну из прямых (например, l₁) и имеющей нормальный вектор n:A(x - x₁) + B(y - y₁) + C(z - z₁) = 0, где (A, B, C) = n.
• Шаг 4: Найти расстояние от другой прямой до плоскости.Расстояние от любой точки (x₂, y₂, z₂) на прямой l₂ до этой плоскости и будет расстоянием между скрещивающимися прямыми. Используйте формулу расстояния от точки до плоскости:d = |A(x₂) + B(y₂) + C(z₂) + D| / √(A² + B² + C²), где D = -Ax₁ - By₁ - Cz₁.

3. Метод с использованием минимизации расстояния (для продвинутых):

Этот метод заключается в нахождении таких параметров t и s, для которых расстояние между двумя точками на прямых l₁ и l₂ минимально. Это требует решения системы уравнений, полученной из условия перпендикулярности вектора, соединяющего точки на прямых, к обоим направляющим векторам. Этот метод обычно более сложный, чем два предыдущих.

Пример (Метод 1):

Пусть даны прямые:

• l₁: x = 1 + t, y = -1 + 2t, z = t
• l₂: x = 2 - s, y = s, z = 3 + 2s

Тогда:

• r₁ = (1, -1, 0), a = (1, 2, 1)
• r₂ = (2, 0, 3), b = (-1, 1, 2)
• a × b = (3, -3, 3)
• (r₂ - r₁) = (1, 1, 3)
• (r₂ - r₁) · (a × b) = (1 * 3) + (1 * -3) + (3 * 3) = 9
• |a × b| = √(3² + (-3)² + 3²) = √27 = 3√3

d = |9| / (3√3) = 3 / √3 = √3

Вывод:

Метод с использованием векторного и смешанного произведения обычно является наиболее эффективным и простым в применении, особенно если прямые заданы в векторной или параметрической форме. Важно внимательно проверять вычисления векторного и смешанного произведений, так как ошибки в этих вычислениях приведут к неверному результату.