Нормальное уравнение прямой на плоскости

Нормальное уравнение прямой на плоскости - это уравнение вида:

x * cos(α) + y * sin(α) - p = 0

где:

• x, y - координаты точки на прямой.
• α - угол между положительным направлением оси Ox и нормалью (перпендикуляром) к прямой, опущенной из начала координат. Отсчитывается против часовой стрелки.
• p - расстояние от начала координат до прямой (длина нормали). Всегда неотрицательное число (p ≥ 0).

Почему это называется “нормальным” уравнением?

Потому что оно использует нормаль к прямой (перпендикуляр) и расстояние от начала координат до этой прямой.

Преимущества нормального уравнения:

• Однозначность: Для каждой прямой существует только одно нормальное уравнение (если мы зафиксировали направление нормали).
• Геометрическая ясность: Параметры α и p имеют четкий геометрический смысл.
• Удобство для вычисления расстояния от точки до прямой: Расстояние от точки (x₀, y₀) до прямой, заданной нормальным уравнением, равно |x₀ * cos(α) + y₀ * sin(α) - p|.
• Простота приведения общего уравнения к нормальному виду.

Как привести общее уравнение прямой к нормальному виду:

Общее уравнение прямой имеет вид:

Ax + By + C = 0

Чтобы привести его к нормальному виду, нужно умножить обе части уравнения на нормирующий множитель μ:

μ(Ax + By + C) = 0

где μ = ± 1 / √(A² + B²)

Знак μ выбирается противоположным знаку C (если C ≠ 0). Если C = 0, знак μ выбирается так, чтобы B > 0, а если B = 0, то A > 0.

После умножения получаем:

(Aμ)x + (Bμ)y + (Cμ) = 0

Тогда:

• cos(α) = Aμ
• sin(α) = Bμ
• p = -Cμ

Пример:

Приведем общее уравнение прямой 3x - 4y + 10 = 0 к нормальному виду.

1. Находим нормирующий множитель: A = 3, B = -4, C = 10 √(A² + B²) = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5 Так как C = 10 > 0, то μ = -1/5
2. Умножаем общее уравнение на μ: (-1/5)(3x - 4y + 10) = 0 -3/5 x + 4/5 y - 2 = 0
3. Записываем нормальное уравнение: x * (-3/5) + y * (4/5) - 2 = 0

Здесь:

• cos(α) = -3/5
• sin(α) = 4/5
• p = 2

Как найти угол α:

Зная cos(α) и sin(α), можно найти угол α. Однако, нужно учитывать знаки косинуса и синуса, чтобы правильно определить квадрант, в котором находится угол. Например, если cos(α) < 0 и sin(α) > 0, то угол находится во второй четверти.

Можно использовать arctan(sin(α) / cos(α)) = arctan(Bμ / Aμ) = arctan(B/A), но помнить о необходимости корректировки угла в зависимости от знаков cos(α) и sin(α) для правильного определения квадранта. Большинство языков программирования имеют функцию atan2(y, x), которая учитывает знаки обоих аргументов и возвращает угол в правильном квадранте.

В заключение: Нормальное уравнение прямой - это полезный инструмент для работы с прямыми на плоскости, особенно когда нужно вычислять расстояния или определять угол между прямой и осью Ox. Приведение общего уравнения к нормальному виду позволяет легко найти эти параметры.