Формулы понижения степени в тригонометрии позволяют выразить степени тригонометрических функций (синуса и косинуса) через тригонометрические функции с двойным углом, тем самым понижая степень исходной функции. Это особенно полезно при интегрировании и упрощении тригонометрических выражений.
Вот основные формулы понижения степени:
1. Для синуса в квадрате (sin² x):
sin² x = (1 - cos 2x) / 2
2. Для косинуса в квадрате (cos² x):
cos² x = (1 + cos 2x) / 2
3. Для синуса в кубе (sin³ x):
sin³ x = (3sin x - sin 3x) / 4
4. Для косинуса в кубе (cos³ x):
cos³ x = (3cos x + cos 3x) / 4
Объяснение и вывод формул для квадрата:
Формулы для sin² x и cos² x выводятся непосредственно из формул косинуса двойного угла:
- cos 2x = cos² x - sin² x
- cos 2x = 2cos² x - 1
- cos 2x = 1 - 2sin² x
Чтобы получить формулу для sin² x, используем третью формулу для cos 2x:
cos 2x = 1 - 2sin² x 2sin² x = 1 - cos 2x sin² x = (1 - cos 2x) / 2
Чтобы получить формулу для cos² x, используем вторую формулу для cos 2x:
cos 2x = 2cos² x - 1 2cos² x = 1 + cos 2x cos² x = (1 + cos 2x) / 2
Объяснение и вывод формул для куба:
Формулы для sin³ x и cos³ x выводятся с использованием формул для синуса и косинуса тройного угла, а также основных тригонометрических тождеств. Пример для sin³x:
- Вспомним формулу синуса тройного угла: sin(3x) = 3sin(x) - 4sin³(x)
- Выразим sin³(x) из этой формулы: 4sin³(x) = 3sin(x) - sin(3x)
- Разделим обе части на 4: sin³(x) = (3sin(x) - sin(3x)) / 4
Аналогично выводится формула для cos³(x).
Применение:
Формулы понижения степени используются в следующих случаях:
- Интегрирование: Особенно полезны при интегрировании функций, содержащих синусы и косинусы в четных степенях.
- Упрощение тригонометрических выражений: Помогают упростить сложные выражения, содержащие степени тригонометрических функций.
- Решение тригонометрических уравнений: Иногда позволяют преобразовать уравнение к более простому виду.
- В физике и инженерии: В различных задачах, связанных с колебаниями, волнами и другими процессами, описываемыми тригонометрическими функциями.
Пример:
Вычислить интеграл ∫ sin² x dx.
Используя формулу понижения степени:
∫ sin² x dx = ∫ (1 - cos 2x) / 2 dx = (1/2) ∫ (1 - cos 2x) dx = (1/2) [x - (1/2)sin 2x] + C = (x/2) - (sin 2x) / 4 + C
Таким образом, формулы понижения степени являются важным инструментом в арсенале математика и позволяют решать широкий спектр задач, связанных с тригонометрическими функциями.