Формулы понижения степени тригонометрических функций

Формулы понижения степени в тригонометрии позволяют выразить степени тригонометрических функций (синуса и косинуса) через тригонометрические функции с двойным углом, тем самым понижая степень исходной функции. Это особенно полезно при интегрировании и упрощении тригонометрических выражений.

Вот основные формулы понижения степени:

1. Для синуса в квадрате (sin² x):

sin² x = (1 - cos 2x) / 2

2. Для косинуса в квадрате (cos² x):

cos² x = (1 + cos 2x) / 2

3. Для синуса в кубе (sin³ x):

sin³ x = (3sin x - sin 3x) / 4

4. Для косинуса в кубе (cos³ x):

cos³ x = (3cos x + cos 3x) / 4

Объяснение и вывод формул для квадрата:

Формулы для sin² x и cos² x выводятся непосредственно из формул косинуса двойного угла:

• cos 2x = cos² x - sin² x
• cos 2x = 2cos² x - 1
• cos 2x = 1 - 2sin² x

Чтобы получить формулу для sin² x, используем третью формулу для cos 2x:

cos 2x = 1 - 2sin² x 2sin² x = 1 - cos 2x sin² x = (1 - cos 2x) / 2

Чтобы получить формулу для cos² x, используем вторую формулу для cos 2x:

cos 2x = 2cos² x - 1 2cos² x = 1 + cos 2x cos² x = (1 + cos 2x) / 2

Объяснение и вывод формул для куба:

Формулы для sin³ x и cos³ x выводятся с использованием формул для синуса и косинуса тройного угла, а также основных тригонометрических тождеств. Пример для sin³x:

1. Вспомним формулу синуса тройного угла: sin(3x) = 3sin(x) - 4sin³(x)
2. Выразим sin³(x) из этой формулы: 4sin³(x) = 3sin(x) - sin(3x)
3. Разделим обе части на 4: sin³(x) = (3sin(x) - sin(3x)) / 4

Аналогично выводится формула для cos³(x).

Применение:

Формулы понижения степени используются в следующих случаях:

• Интегрирование: Особенно полезны при интегрировании функций, содержащих синусы и косинусы в четных степенях.
• Упрощение тригонометрических выражений: Помогают упростить сложные выражения, содержащие степени тригонометрических функций.
• Решение тригонометрических уравнений: Иногда позволяют преобразовать уравнение к более простому виду.
• В физике и инженерии: В различных задачах, связанных с колебаниями, волнами и другими процессами, описываемыми тригонометрическими функциями.

Пример:

Вычислить интеграл ∫ sin² x dx.

Используя формулу понижения степени:

∫ sin² x dx = ∫ (1 - cos 2x) / 2 dx = (1/2) ∫ (1 - cos 2x) dx = (1/2) [x - (1/2)sin 2x] + C = (x/2) - (sin 2x) / 4 + C

Таким образом, формулы понижения степени являются важным инструментом в арсенале математика и позволяют решать широкий спектр задач, связанных с тригонометрическими функциями.