На плоскости, условие перпендикулярности двух прямых, заданных различными способами, выражается по-разному. Рассмотрим основные случаи:
1. Прямые заданы угловыми коэффициентами:
- Если две прямые заданы уравнениями y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂, то они перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1:k₁ * k₂ = -1
илиk₂ = -1 / k₁
Объяснение: Угловой коэффициент (k) прямой равен тангенсу угла наклона прямой к оси Ox. Для перпендикулярных прямых углы наклона отличаются на 90 градусов. Тангенсы углов, отличающихся на 90 градусов, являются обратными величинами с противоположным знаком.
2. Прямые заданы общими уравнениями:
- Если две прямые заданы уравнениями A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0, то они перпендикулярны, если:A₁A₂ + B₁B₂ = 0
Объяснение: Эта формула является следствием условия k₁ * k₂ = -1, выраженного через коэффициенты общих уравнений прямых.
3. Прямые заданы параметрическими уравнениями:
- Пусть прямая 1 задана уравнениями: x = x₁ + t * l₁, y = y₁ + t * m₁
- Пусть прямая 2 задана уравнениями: x = x₂ + s * l₂, y = y₂ + s * m₂Тогда, условие перпендикулярности этих прямых:l₁ * l₂ + m₁ * m₂ = 0
где (l₁, m₁) и (l₂, m₂) - направляющие векторы соответствующих прямых.
4. Одна прямая задана угловым коэффициентом, а другая общим уравнением:
- Пусть прямая 1 задана уравнением y = k₁x + b₁, а прямая 2 задана уравнением A₂x + B₂y + C₂ = 0.Тогда прямые перпендикулярны, если:k₁ = B₂/A₂
илиB₂ = k₁ * A₂
Примеры:
- Пример 1: Прямая y = 2x + 3 перпендикулярна прямой y = -1/2x + 5, так как 2 * (-1/2) = -1.
- Пример 2: Прямая 3x + 4y - 1 = 0 перпендикулярна прямой 4x - 3y + 2 = 0, так как 3 * 4 + 4 * (-3) = 12 - 12 = 0.
Практическое применение:
Условие перпендикулярности прямых используется для:
- Построения перпендикулярных прямых.
- Определения, являются ли две заданные прямые перпендикулярными.
- Нахождения уравнения прямой, перпендикулярной данной и проходящей через заданную точку.
- Решения различных геометрических задач.