А. В. Шевкин, avshevkin@mail.ru
Сергей Михайлович Никольский родился 30 апреля 1905 года в поселке Завод Талица Пермской губернии (ныне город Талица Свердловской области). В своей книге «Воспоминания» (М.: МИАН, 2003, 160 с.) он написал:
«До революции я успел проучиться 4 года в царской гимназии и потому имею возможность сопоставлять тогдашнее обучение с современным. Конечно, ученье постепенно прогрессирует. Но подчас бестолково и неуклюже. То, что было хорошо, нередко не закрепляется и даже изгоняется».
Через 20 лет после выхода книги эти слова удивительным образом подходят к последним изменениям в школьной программе по математике и в школьных учебниках после утверждения «единого учебника». Об этом поговорим позже. Читаем там же:
«В молодости я нередко зарабатывал на уроках и даже преподавал математику в школе. В Стекловке мне пришлось много работать в комиссии по школьному преподаванию математики. Я узнал в деталях программы по арифметике, алгебре и началам анализа. У меня сложилась своя точка зрения на всё это дело. Однако, я понял, чтобы внедрять мои мысли, придётся писать учебники — статьи с призывами ничего не дают».
Книги для школьников Сергей Михайлович начал писать с того, что ему было ближе по опыту преподавания в вузах — с математического анализа. В 1981 г. вышла первая книга
Никольский С. М. Элементы математического анализа. – М.; Наука, 1981. – 160 с.
О ней Сергей Михайлович писал: «В двух массовых изданиях выходила (до перестройки) моя книжка "Элементы математического анализа", в которую я вложил свой опыт преподавания анализа на наивном языке». Это был первый набросок, ещё даже не учебник, а пособие для учителей. Затем вышла книга
Никольский С. М., Потапов М. К. Алгебра. Пособие для самообразования. – М.; Наука, 1984. – 288 с.
Это уже был проект учебника без разработанной системы упражнений, но в полном соответствии с программой по алгебре для 6-8 классов — в старой нумерации классов десятилетней школы.
Так началась реализация задуманного обновления школьных учебников для основной школы, если говорить в современных терминах.
Параллельно шла разработка учебников алгебры для 6-8 классов с участием Решетникова Н. Н., по которым НИИ содержания и методов обучения АПН СССР (НИИ СиМО АПН СССР) начал эксперимент в Днепропетровске и ещё в двух городах УССР.
К работе над учебниками Сергей Михайлович привлёк своего ученика профессора МГУ Потапова М. К., сотрудников НИИ СиМО АПН СССР, кандидата педагогических наук Решетникова Н. Н. В 1985 году к проекту создания новых учебников присоединился и автор этих строк. Мы с Николаем Николаевичем Решетниковым имели опыт преподавания математики в школе. У меня были идеи использования традиционных способов решения текстовых задач на первоначальном этапе обучения, что продолжало традиции учебника А. П. Киселёва и нравилось Сергею Михайловичу.
Были написаны учебники «Арифметика» для 4 и 5 класса. Экспериментальные учебники для 4-5 классов издали в НИИ СиМО АПН СССР в виде четырёх частей (ротапринтное издание). По ним шёл педагогический эксперимент в Черноголовке.
В 1988 году вышел проект учебника «Арифметика» с системой упражнений в качестве пособия для самообразования.
Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В., Арифметика. Пособие для самообразования. – М.; Наука, 1988. – 384 с. (Тираж 400 000 экз.).
Надо отметить, что все первые версии учебников были написаны Сергеем Михайловичем Никольским, кроме второй главы учебника для 11 класса «Уравнения. Неравенства. Системы». Этот материал готовил М. К. Потапов с учётом потребностей школьников в подготовке к выпускным и к конкурсным экзаменам.
Сергей Михайлович говорил о том, что он очень уважительно относился к учебникам А. П. Киселёва, по которым ему довелось учиться в гимназии. Он говорил, что мы продолжаем традиции А. П. Киселёва в том смысле, что мы придерживаемся научного подхода в развитии линии числа, но мы усовершенствовали его подход.
У А. П. Киселёва сначала полностью изучаются натуральные числа, называемые целыми), потом обыкновенные дроби, только потом — десятичные дроби.
В учебнике А. П. Киселёва в переработке А. Я. Хинчина (1951 г.) периодические десятичные дроби изучаются, включая обращение бесконечной периодической (чистой или смешанной) десятичной дроби в обыкновенную дробь. Обоснование этого перевода дано для учителя мелким шрифтом с использованием понятия «предел последовательности». А учащихся убеждали, что предложенное правило верно, проверкой полученного результата делением числителя дроби на её знаменатель уголком.
Сергей Михайлович обосновал этот вопрос не для учителя в конце учебника, как было сделано в учебнике А. П. Киселёва, а для учащихся при помощи решения уравнения на уровне, доступном пониманию шестиклассников, без доказательства факта, что при умножении бесконечной периодической десятичной дроби на 10 запятую надо перенести вправо на один знак, но с аналогичной проверкой, что этот перенос приводит к правильному результату.
Здесь использована аналогия с конечными десятичными дробями, которые можно представить как бесконечные периодические десятичные дроби с периодом нуль: например, 5,2 = 5,2(0).
Рассмотрим пример из п. 5.3* (необязательный, так как этого материала нет в программе).
Пример 1. Запишем периодическую дробь 0,(8) в виде обыкновенной дроби. Для этого обозначим искомую дробь через x:
x = 0,888… .
Умножим это равенство на 10, получим 10x = 8,888… .
Вычтем первое равенство из второго, получим:
10x – x = 8,
9x = 8,
x = 8/9 .
Разделив числитель дроби 8/9 на её знаменатель уголком, убедимся, что эта дробь действительно равна периодической дроби 0,(8).
В примере 2 выполнен перевод смешанной периодической дроби 2,35(7) в обыкновенную дробь x = (2357 – 235)/900 = 2122/900 (с проверкой) и сформулировано правило перевода любой бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь.
В следующем пункте учебника вводится понятие бесконечной непериодической десятичной дроби, объясняется, что её нельзя представить в виде обыкновенной дроби, соответственно, она не может быть десятичным разложением какого-либо рационального числа. Далее идёт определение:
Число, которое можно записать в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, называют иррациональным (нерациональным) числом.
Далее вводится понятие действительного числа:
Рациональные и иррациональные числа называют действительными числами.
Здесь вспоминается эпизод из личного опыта первого прохождения этой темы в 1988 году в авторском эксперименте в школе 679 г. Москвы. При отработке перевода бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенные сообразительная ученица Аня спросила:
— Александр Владимирович, вот вы всё время повторяете «бесконечные периодические десятичные дроби», а что, бывают и непериодические?
Я похвалил Анечку за хороший вопрос и не стал откладывать ответ на пару уроков, когда темой урока станут именно бесконечные непериодические десятичные дроби. Я сказал, давай сконструируем такие дроби, которые, очевидно, не являются периодическими:
0,1234567891011121314…
0,10110111011110111110…
В первом случае после запятой идут числа натурального ряда, записанные без пропусков и запятых, во втором случае идёт увеличение числа единиц на одну в каждой группе цифр, отделяемых друг от друга нулём. Аня смогла сконструировать свою бесконечную непериодическую десятичную дробь.
На следующих уроках мы уточнили, что любую обыкновенную дробь можно записать в виде бесконечной периодической десятичной дроби, а любую бесконечную периодическую десятичную дробь — в виде обыкновенной дроби. Бесконечная периодическая десятичная дробь является другой записью рационального числа. Но бесконечную непериодическую дробь нельзя записать в виде обыкновенной дроби, так как если бы это кому-то удалось, то мы ту обыкновенную дробь могли бы записать в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Получилось бы, что одно и то же число записывается и в виде периодической, и в виде непериодической дроби, что невозможно. Это был первый опыт рассуждения методом «от противного» у моих учащихся.
В сильном классе сильные учащиеся могли воспроизвести это рассуждение на следующем уроке, но даже если без умения провести такое доказательство слабый ученик просто узнает, что кроме периодических дробей есть ещё и непериодические, являющиеся записями новых чисел — иррациональных, то мы закладываем числовую основу для изучения математики с большим пониманием объекта изучения — чисел.
Новое звучание получит утверждение из геометрии: «Каждый отрезок имеет определённую длину». Это утверждение не вызывает сомнений у учащихся, но в более старшем возрасте они узнают, что длина единичного квадрата выражается как раз непериодической десятичной дробью.
Новое звучание получит и утверждение: «Каждая пара чисел (x; y) в системе координат xOy задаёт единственную точку», и наоборот «Каждой точке в системе координат xOyсоответствует своя единственная пара чисел».
Второе утверждение дети принимают на веру, хотя числовой базы по действующей программе для истинности этого утверждения нет, так как координатная ось остаётся «дырявой», как говорил Сергей Михайлович, на ней нет иррациональных точек.
Понятие действительного числа введено в конце 6 класса, потом мы повторяем это место в 7 классе. Это нужно для того, чтобы проводить доказательства формул сокращённого умножения, строить действительно непрерывные графики функций, осознанно говорить в геометрии, что каждый отрезок имеет определённую длину.
В воспоминания о первом опыте преподавания темы я ударился потому, что у многих учителей есть убеждение, что бесконечные непериодические дроби — это очень сложно, так как о них по действующей программе упоминается только в 9 классе, хотя до этого вводят понятие корня из числа, в сильном классе даже могут доказать, что длина диагонали единичного квадрата выражается числом, которое нельзя записать в виде обыкновенной дроби, но при этом умалчивают вопрос о непериодических дробях.
Добавим ещё одно наблюдение по действующей программе. Она построена в соответствии с идеей концентризма, то есть возвращения к одним и тем же вопросам в теории несколько раз. Вот как начинается программа для 6 класса.
Обыкновенная дробь, основное свойство дроби, сокращение дробей. Сравнение и упорядочивание дробей. Решение задач на нахождение части от целого и целого по его части. Дробное число как результат деления. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и возможность представления обыкновенной дроби в виде десятичной.
Здесь нет ни одного вопроса, который не изучался бы в 5 классе. Делается это для того, чтобы организовать повторение. Но такое повторение является «мачехой учения», так как для сильного ученика это топтание на месте, повторение того, что он и так знает, а ради слабых учащихся можно вести повторение через систему упражнений, не отнимая драгоценного учебного времени, которого стало на 34 урока в году меньше, а ведь учителя жалуются на нехватку учебного времени.
И вот ещё один курьёз, который не заметили составители программы. Они в 6 классе вводят понятие числовых промежутков, которые потом изучают в 7 классе и используют в 8 классе при решении неравенств, но никого не смущает, что используемые числовые промежутки остаются «дырявыми» — без иррациональных чисел, так как о взаимно однозначном соответствии между множеством действительных чисел и координатной прямой программа говорит лишь в 9 классе.
Но вернёмся к учебнику А. П. Киселёва. У него сначала изучаются натуральные числа полностью, потом обыкновенные дроби полностью, только потом — десятичные дроби. Отрицательные числа, в соответствии с программой тех лет, изучали в курсе алгебры во втором полугодии в 6 классе. Но в курсе арифметики не упоминаются термины, связанные с названиями множеств чисел потому, что эти множества не были предметом изучения. В учебнике 1951 г. издания сказано: «Один, два, три и т. д. называют целыми числами». Здесь речь идёт о положительных целых числах, то есть натуральных числах.
В настоящее время в программе по математике есть натуральные числа. Их изучение построено весьма странно, но лучше, чем все предыдущие 50 лет и в те годы, когда мы взялись писать свои учебники. Многолетняя критика программы и наличие примера иного, более научного изложения материала в учебниках дали свои результаты. Но делители и кратные числа, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, делимость суммы и произведения, деление с остатком остались в 6 классе, хотя в пятом классе для записи неправильной дроби 37/5 в виде смешанной дроби требуется именно деление натуральных чисел с остатком.
В программу по математике заложен принцип концентризма, то есть возвращения в теоретическом плане к одним и тем же вопросам несколько раз. Такое построение изложения материала не развивает теоретическое мышление школьников, является шагом назад по сравнению с учебником А. П. Киселёва, в котором был линейный подход к изучению материала.
Так, например, понятие бесконечной десятичной дроби (конечной или бесконечной) впервые упоминается в программе для 9 класса базовый уровень [1]. Вопрос о периодических и непериодических десятичных дробях об иррациональном числе как непериодической десятичной дроби в программе не упоминается. Числовые промежутки вводятся ещё в 6 классе, хотя в этом нет никакой необходимости — нет функций и нет решений неравенств. Эти промежутки состоят из рациональных чисел, так как иррациональные числа появятся только в 8 классе при изучении квадратных корней.
К достижению программы 2023 года надо отнести перенос признаков делимости натуральных чисел, простых и составных чисел в 5 класс, но свойства делимости, с помощью которых только и можно обосновать признаки делимости, хотя бы на числовых примерах, остались в 6 классе. И это несмотря на мою неоднократную критику проекта программы при обсуждении проекта в Интернете и статью в предметном журнале. А представлять бесконечные периодические дроби в виде обыкновенных требуется только в 9 классе при углублённом изучении математики. [2]
А тогда, когда в 1985 году автор этих строк присоединился к проекту создания учебников С. М. Никольского, программа по математике была ещё более запутанной. Натуральные числа изучали в 5 классе (тогда это был 4 класс), а завершали изучение (НОД и НОК натуральных чисел, простые и составные числа, признаки и свойства делимости натуральных чисел) в 6 классе. Два концентра вместо того, чтобы изучить натуральные числа в 5 классе.
Сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями изучали в 5 классе, а с разными знаменателями — в 6 классе, там же изучали умножение и деление дробей, действия со смешанными дробями (тогда они назывались смешанными числами). Опять два концентра вместо того, чтобы изучить обыкновенные дроби целиком в 5 классе. Зато в 5 классе при недоученных натуральных числах и обыкновенных дробях вводились десятичные дроби. Программа закладывает таким образом формирование неполных умений.
В смысле формирования правильных научных представлений о линии числа это был винегрет. Обучение строились почти как в учебнике Л. Ф. Магницкого. Комментатор этого учебника В. Беллюстин так описывал старинную практику обучения решению текстовых задач в 1923 году. Сначала формулировали правило, потом задачу, которую надо было решать по правилу. Ученик мог сказать учителю: «Я решаю задачу по правилу, получаю ответ, но не понимаю, почему он правильный».
«Это ничего, что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многого не будешь понимать, — утешал бывало наставник своего питомца, и вместо понимания рекомендовал не заноситься, а выучить наизусть всё, что задают, и потом стараться применить это к делу». [3]
Чтобы было понятно, о чём идёт речь, приведу пример одного европейского источника, которому следовал Л. Ф. Магницкий.
«Тройным правилом называется regula magistralis, или regula aurea (т. е. магистерское правило, или золотое правило), с помощью которого совершаются все торговые расчёты всех ремесленников и купцов; оно называется в гражданском обиходе de try или de tree, ибо содержит в себе три величины, при помощи которых можно вычислить всё.
. . . . . . . . . .
… Заметь ещё числа, стоящие сзади и спереди. Надо стоящее сзади число помножить на среднее и разделить на переднее».
Далее то же правило дано в зарифмованном виде и приведен пример на его применение:
Я купил 100 фунтов шерсти за 7 гульденов. Что стоят 29 фунтов?
фунты гульдены фунты
100 7 29
Помножь 29 на 7, затем раздели на 100, что получится и будет стоимостью 29 фунтов. [4]
Удивительно, но более 50 лет в советской и российской школе именно по этому совету обучали и продолжают обучать школьников не только решению задач, но и при обучениях вычислениям. И это в то время, когда уже есть разумная альтернатива последовательного и обоснованного изложения математики в учебниках С. М. Никольского.
После введения «единых учебников», которые по математике для 5-6 классов и алгебре для 7-9 классов оказались до боли знакомы, так как были введены более 50 лет назад, начались обсуждения этих учебников. Заметьте, не до введения, а после того. Их ввели, возможно, именно за то, что они знакомы большинству учителей, а многие из них сами по ним учились в школе. Не было никакого сопоставительного анализа научного содержания и методики изложения материала в разных учебниках, результатов обучения по ним, которые стали бы основой для принятия решения.
Не научно-исследовательский институт академии образования России, а родительская общественность обсуждает программы и учебники, принятые в школе, привлекая для этого заинтересованных учителей.
Из Петербурга мне прислали мнение одного учителя, который предложил «полностью пересмотреть школьную программу изучения математики и вернуться к проверенным годами учебникам. На данный момент даже учебник Виленкина Н.Я. в нынешнем издании потерял логику изложения материала. Исключить вузовский предмет теория вероятностей и статистика из школьной программы».
Предложение меня сильно удивило, так как, по указанным выше причинам, учебники Н. Я. Виленкина логику изложения не теряли, они её не имели в части развития линии числа. Наоборот, в последнем издании учебника предпринята попытка восстановить логику изложения материала, но она была непоследовательной и неудачной.
Изучение натуральных чисел не было завершено в 5 классе, так как свойства делимости натуральных чисел оставили в 6 классе, а только с их помощью можно обосновать признаки делимости, которые дают в 5 классе. Изучение обыкновенных дробей не завершено в 5 классе, зато введены десятичные дроби. Пятый класс оказался перегружен материалом, а если учесть переход с шести на пять уроков в неделю, то обучение школьников без должного понимания сути выполняемых ими действий начало давать сбои. Проблему не удаётся решить «нарешиванием» большого числа примеров.
Разумеется, дело не только в учебнике, а в утверждённой программе по математике, под которую переделывали учебник, в программе есть мелкие усовершенствования. Только после появления и 20 лет использования учебников С. М. Никольского в программе вместо смешанных чисел стали говорить о смешанных дробях, а до этого 50 лет «учительский сленг» в учебнике никого не смущал, авторов программы — тоже. 50 лет говорили ещё о распределительном законе умножения относительно сложения и относительно вычитания. Нет таких законов в математике. Есть распределительный закон и его следствие (для вычитания).
Нет в математике никаких смешанных чисел. Натуральные, целые, рациональные и иррациональные (при углублении и комплексные) числа в школьной математике есть, а смешанных чисел — нет.
Да и с текстовыми задачами произошли изменения. В программе появилось решение задач арифметическими способами, чего ранее не было. Было раннее введение использование уравнений для решения текстовых задач. Сами уравнения вводились сразу после изучения действия вычитания натуральных чисел, когда для формирования полного умения решать линейные уравнения ещё нет числовой базы. В результате дети осваивали способ решения «Делай, как я!». И ситуация стала напоминать ту, которую описал в 1923 году В. Беллюстин применительно к текстовым задачам.
Мне известен эпизод, когда на занятии с сотрудницей лаборатории обучения математике НИИ СиМО АПН СССР ученик попросил: Людмила Викторовна, научите нас, пожалуйста, решать задачи «на пусть». Видимо, начинать решение задачи с помощью уравнения фразой «Пусть x — …» он умел, а вот что дальше делать, не знал. Задачи-то бывают разные.
У нас в учебниках были задачи на нахождение двух чисел по сумме и разности, задачи на части, задачи на деление в данном отношении, традиционные для российской школы с незапамятных времён, теперь они в «единой» программе не упоминаются, а это были задачи, при решении которых учитель имел возможность тренировать умение учащихся рассуждать, обосновывать свои утверждения, развивать мышление и речь учащихся. В программе говорится о решении задач арифметическими способами, но эти способы не конкретизированы, а зря. Теперь уравнений в программе для 5-6 классов нет, первый раз они встречаются в 7 классе. Тогда же начинается впервые применение уравнений для решения текстовых задач.
В коротком сообщении о вкладе С. М. Никольского в создание серии учебников математики (ранее мы говорили об арифметике) для 5-6 классов, алгебры для 7-9 классов, алгебры и начал математического анализа для 10-11 класса нет возможности охватить все содержательные и методические особенности этих учебников по всем классам. Отметим только, что они писались как двухуровневые, начиная с 7 класса. То есть в учебник включались вопросы программы углублённого изучения математики, но соответствующие пункты выделялись звёздочками и считались необязательными при обучении в обычном классе с меньшим числом уроков на математику.
Учебники для 10-11 класса некоторое время были утверждены как двухуровневые, на обложке было написано «Базовый и углублённый уровни». Но в Министерстве просвещения не оценили эту идею, позволяющую учителю в работе с обычным классом иметь возможность «углублять» обучение своих сильных учащихся и самому осваивать преподавание математики на более высоком уровне. Ведь изучение математики углублённо — это не изучение какой-то совсем другой математики, как некоторым кажется. А это помощь в повышении квалификации учительских кадров и в переходе сильных учителей от преподавания только по обычной программе к преподаванию математики и в классах с углублённым изучением математики.
Отмечу с грустью, что после введения «единых учебников» учителя сообщали о разочаровании в них, так как имели опыт преподавания по построенным линейно, а не концентрично, более обоснованным в изложении учебного материала учебникам серии «МГУ – школе» академика С. М. Никольского и его авторского коллектива. Все учебники обеспечены книгами для учителя, в которых к каждому пункту даны разъяснения трудных мест и способов их преодоления, приведены решения наиболее трудных задач, которые, что греха таить, иногда отпугивают недостаточно подготовленных учителей. К каждому учебнику есть дидактические материалы, к учебникам для 5-9 классов есть рабочие тетради. К учебникам для 5-6 классов есть книжка «Задачи на смекалку», входившая в комплект для 5-6 классов. Надеемся, что Министерство просвещения России ещё одумается, что учебники С. М. Николького ещё будут востребованы.
Отмечу, что единственный раз при введении ЕГЭ в Москве, кажется, это был 2010 год, до районных методистов и учителей математики довели зависимость результатов сдачи ОГЭ и ЕГЭ от используемого учебника. Оба экзамена сдали лучше учащиеся, обучавшиеся по учебникам С. М. Никольского. Это подтвердил И. В. Ященко, отметивший, правда, в личной переписке, что результаты обучения зависят не только от учебника.
А завершить рассказ об учебниках С. М. Никольского разрешите давним отзывом об учебнике «Арифметика. 5 класс» от профессионала, академика Виктора Анатольевича Васильева, много лет возглавлявшего экспертизу школьных учебников математики в России.
«Это редкий учебник, авторы которого явно понимают, что они пишут, включая смысл, логику и взаимосвязь материала, различие между важным и второстепенным, между содержательными фактами и техническими приемами. При значительном лаконизме изложения, нигде не пропущено ничего существенного и дается совершенно адекватная картина материала. Некоторая скудость материала, неизбежная в учебнике, ориентированном лишь на федеральный компонент стандартов, компенсируется высокой культурой его изложения и искусным подбором задач, часть из которых подводит учеников к возможным перспективам.
Особенно приятно, что книга свободна от двусмысленностей, неоднозначностей в постановках задач и в определениях, а также от специфического педагогического жаргона, возникающего, когда тем или иным терминам или группам слов негласно присваивается некоторый смысл, отличный от их буквального прочтения.
В данной же книге все используемые термины достаточно четко определены. При этом удивительным образом во всем учебнике мне удалось найти ровно две (или, при максимально строгом подходе, три) ошибки. Эти ошибки не позволяют признать учебник абсолютно соответствующим современным научным представлениям, однако все необходимые исправления чрезвычайно просты».
Это всё, что мне хотелось рассказать об учебниках Сергея Михайловича Никольского.
Используемая литература
Программы по математике от Института развития образования РАО
1. 5-9 класс (базовый уровень)
https://100ballnik.com/wp-content/uploads/2023/08/ФРП-ООО-математика-5-9-класс-БАЗА.pdf?ysclid=m26987jrar141876465
2. 7-9 класс (углублённое изучение)
https://sh115-krasnoyarsk-r04.gosweb.gosuslugi.ru/netcat_files/32/50/FRP_OOO_MATEMATIKA_5_9_UU.pdf
3. Беллюстин В. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. – М.–П-г., 1923.
4. Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики. Выпуск I. Арифметика и алгебра. Перев. с нем. П. С. Юшкевича. М.–Л., 1932.
Опубликовано: Математическое образование. Журнал Фонда математического образования и просвещения. № 1 (113), январь-март 2025 г.