Противоположно направленные векторы — это векторы, которые:
- Параллельны: Лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
- Имеют противоположные направления: “Смотрят” в разные стороны.
Визуально:
Представьте себе две стрелки, лежащие на одной линии. Если одна стрелка указывает вправо, а другая влево, то это противоположно направленные векторы.
Математически:
Если вектор a и вектор b противоположно направлены, то существует такое положительное число k, что a = -kb. Знак минус означает противоположное направление, а k — это коэффициент, показывающий, во сколько раз длина одного вектора больше или меньше длины другого.
Примеры:
- Сила трения и сила тяги: Если автомобиль движется вперед, сила трения, действующая на колеса, будет направлена назад, то есть противоположно силе тяги двигателя.
- Два человека тянут канат в разные стороны: Если два человека тянут канат в противоположные стороны, их силы будут представлены противоположно направленными векторами.
- Движение тела и сила сопротивления воздуха: Когда тело падает вниз, сила сопротивления воздуха направлена вверх, против движения.
Свойства:
- Сумма противоположно направленных векторов: Сумма двух противоположно направленных векторов равна вектору, модуль которого равен разности модулей исходных векторов, а направление совпадает с направлением вектора, имеющего больший модуль. Если |a| > |b|, то a + b направлен в сторону a. Если |a| < |b|, то a + b направлен в сторону b. Если |a| = |b|, то a + b = 0 (нулевой вектор).
- Коллинеарность: Противоположно направленные векторы являются коллинеарными (лежат на одной прямой или параллельных прямых).
- Скалярное произведение: Скалярное произведение двух противоположно направленных векторов отрицательно.
- Векторное произведение: Векторное произведение двух противоположно направленных векторов равно нулю.
Важно не путать:
- Противоположные векторы: Это векторы, которые равны по длине, но имеют противоположные направления. То есть, если a и b противоположные векторы, то a = -b. Противоположно направленные векторы не обязательно должны быть равны по длине.
- Перпендикулярные векторы: Это векторы, образующие угол 90 градусов друг с другом. Они не параллельны и не имеют никакого отношения к противоположному направлению.
В заключение, противоположно направленные векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой (или параллельных прямых) и “смотрят” в разные стороны. Они играют важную роль в физике, механике и других науках, где необходимо учитывать направление сил и движений.