Сергей Михайлович Никольский родился в посёлке Талица Пермской губернии (ныне город в составе Свердловской области). Его отец Михаил Дмитриевич Никольский, выпускник Петербургского лесного института, лесничий, попутно преподавал в лесной школе. Мать Людмила Михайловна Фёдорова — сельская учительница.
Учился в школе польского города Сувалки, с началом Первой мировой войны в 1914 году семья перебралась в Чернигов, где Сергей продолжил учиться в гимназии. С 1918 года семья жила в Воронежской области, где отец занимал должность лесничего Шиповского опытного лесничества. С 14 лет Сергей работает в лесничестве и наблюдателем на метеорологической станции Красный Кордон, а затем помощником садовника в питомнике Ливенского совхоза.
Первая книжка, которую изучил Никольский, называлась «Элементы математического анализа». Особенность книги состояла в том, вспоминал С. М. Никольский, что в ней «элементы» изложены «на пальцах» — на интуитивной основе.
После гибели отца от рук бандитов в конце 1921 года Сергей с матерью вновь оказались в Чернигове. Там он начал работать в Губполитпросвете, экстерном сдавал экзамены в техникуме, без посещения занятий. После ряда приключений комсомолец Никольский, имея 4-летний трудовой стаж и рекомендательную бумагу от Комиссариата (министерства), оказался в Екатеринославе (теперь Днепр) на физико-математическом факультете университета. На решение Никольского сделать математику своей профессией особенное влияние оказали лекции профессора Г. А. Грузинцева. В 1929 году Никольский окончил Екатеринославский институт народного образования, по окончании работал там же.
В 1930-х годах в Днепропетровск регулярно приезжал для чтения лекций А. Н. Колмогоров. Никольский охотно слушал его лекции и вскоре стал его учеником, хотя был младше Колмогорова всего на два года. Колмогоров и вовлёк Никольского в активную научную работу.
В первые месяцы Великой Отечественной войны С. М. Никольский действовал в составе пожарной команды в Москве, вместе с А. А. Ляпуновым принимал участие в сооружении противотанковых укреплений в районе Малоярославца, на подступах к Москве. За это был награждён медалью «За оборону Москвы». Затем в числе наиболее талантливых учёных был эвакуирован в Казань, где в январе 1942 года защитил докторскую диссертацию по теории приближения функций полиномами (многочленами).
С 1947 года — профессор МФТИ. Для МФТИ личность Никольского является знаковой: первую лекцию студентам Физтеха Сергей Михайлович прочитал в 1947 году — это была лекция по математическому анализу, а последнюю лекцию в стенах Физтеха он прочитал в 1997 году в возрасте 92 лет. Сам Никольский называл себя не только учёным, но и «педагогом до мозга костей».
Был главным научным сотрудником МИАНа, профессором МФТИ и механико-математического факультета МГУ, членом Президиума Научно-методического совета по математике при Министерстве образования и науки РФ.
С. М. Никольский — всемирно признанный глава созданной им большой научной школы по теории функций и её приложениям. Он автор более 100 научных публикаций, в том числе трёх монографий, двух учебников для вузов, семи учебников для школ.
Много и плодотворно Никольский работал над совершенствованием программ и учебников математики для общеобразовательной школы. Его авторский коллектив (С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) создал семь учебников «Арифметика» (5-6), «Алгебра» (7-9), «Алгебра и начала анализа» (10-11), которые выпускало издательство «Просвещение».
Подробнее: https://ru.ruwiki.ru/wiki/Никольский,_Сергей_Михайлович