1. Единица — основа чисел
Единица (1) является основой для всех остальных чисел. Её особенность в том, что каждое следующее число образуется прибавлением единицы к предыдущему. Это формирует последовательность целых чисел:
..., -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...,
Целые числа — это множество чисел, которое включает в себя положительные числа, отрицательные числа и ноль. Математически множество целых чисел обозначается символом Z. Три важных типа целых чисел: кратные, составные и простые числа.
2. Двойка — начало чётных чисел
Кратные числа — это числа, которые делятся на данное число без остатка. Например, кратные числа 2 — это числа, которые делятся на 2 без остатка. Двойка (2) — первая ступень в формировании чётных чисел. Число 2 - первое простое число. Каждое чётное число получается добавлением двойки к предыдущему. Шаг чётных чисел равен 2. Получается последовательность:
..., -16, -14, -12, -10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...,
0 - не является ни простым, ни составным числом, ни положительным, ни отрицательным, но является чётным, так как делится на 2 без остатка.
Оставшаяся половина чисел — нечётные, шаг нечётных чисел равен 2:
..., -17, -15, -13, -11, -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...,
3. Тройка — источник троекратных чисел
Тройка (3) открывает путь к числам, кратным трём. Число 3 - второе простое число. Эти числа тоже образуют отдельную серию, формируя структуру из троекратных чисел, с шагом равным 3:
..., -21, -18, -15, -12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...,
Нечётные числа кратные 3, шаг равен 6:
..., -27, -21, -15, -9, -3, 3, 9, 15, 21, 27, ...,
4. Составные числа
Последовательность целых чисел, без чётных чисел и без чисел кратных трём, имеет вид 6n ± 1, где n — целое число, образует последовательность с чередованием шага 4 и 2.
..., -29, -25, -23, -19, -17, -13, -11, -7, -5, -1, 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, ...,
Шаг стал переменным:
..., 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, ...
Последовательность вида 6n + 1, где n — целое число, с шагом 6:
..., -53, -47, -41, -35, -29, -23, -17, -11, -5, 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, ...,
и последовательность вида 6n - 1, где n — целое число
..., -55, -49, -43, -37, -31, -25, -19, -13, -7, -1, 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, ...,
Последовательности отличаются смещением на два. Абсолютные значения последовательностей вида 6n + 1 и 6n - 1, n - целое число содержат одинаковые числа, отличие в расположении чисел относительно 1.
Составные числа — это натуральные числа, которые имеют больше двух различных натуральных делителей. Например, числа 4, 6, 8, 9, 10, ... являются составными. Чтобы определить, является ли число составным, нужно найти его делители. Например, число 6 имеет делители 1, 2, 3 и 6, поэтому оно является составным. Абсолютные значения последовательности вида 6n + 1, где n - целое число:
..., 59, 53, 47, 41, 35, 29, 23, 17, 11, 5, 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, ...,
Последовательность содержит только натуральные числа, следовательно, состоит из простых, составных чисел и "нулевого простого числа" 1.
5 - пятёрка - третье простое число, формирующим свою собственную серию через рекуррентное прибавление шестерок либо используя разность между последовательностью чисел. Эта серия представлена следующим образом:
..., 59, 53, 47, 41, 35, 29, 23, 17, 11, 5, 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, ...,
Числа кратные 5 расположены на шагах кратных пяти. Составные числа, кратные 5, расположены на местах кратных 5, справа и слева от числа 5:
..., 125, 95, 65, 35, 25, 55, 85, 115, ...
7 - семёрка - четвёртое простое число, задающее новую последовательность путем систематического прироста величин, кратных семи, образуя таким образом особый класс семикратных чисел.
..., 59, 53, 47, 41, 35, 29, 23, 17, 11, 5, 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 67, ...,
Числа кратные 7 расположены на шагах кратных семи от числа 7.
Число 11 - пятое простое число.
Числа последовательности, расположенные между числами справа от 77 и слева 49 - составные, простые числа:
71, 65, 59, 53, 47, 41, 35, 29, 23, 17, 11, 5, 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43.
Число 77 - составное, произведение четвёртого простого числа 7 и следующего, пятого простого числа 11, число 49 - составное число, квадрат четвёртого простого числа 7. Исключив составные числа, кратные 5, останутся только простые числа:
71, 59, 53, 47, 41, 29, 23, 17, 11, 5, 1, 7, 13, 19, 31, 37, 43.
Расширим диапазон определения составных чисел, кратных 7. Найдём границы для числа 7. Это числа последовательности между числами 143 и 121. Число 143 - составное число, произведение пятого простого числа 11 и шестого простого числа 13, число 121 - составное число, квадрат пятого простого числа 11. Исключив из этого диапазона составные числа кратные числам 5, 7, останутся простые числа, с 1 — "нулевым простым числом", без простых чисел 2 и 3:
137, 131, 113, 107, 101, 89, 83, 71, 59, 53, 47, 41, 29, 23, 17, 11, 5, 1, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109.
Расширяя диапазон таким алгоритмом, можно находить составные и простые числа, для любого диапазона чисел данной последовательности.
5. Простые числа
Простые числа — это натуральные числа, которые имеют ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Например, числа:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, ..., являются простыми. Число 1 не является простым, так как у него только один делитель — само себя.