Полиномиальные уравнения — основа современной науки. Они используются в небесной механике, компьютерной графике, прогнозировании рыночного роста и других областях. Школьники учатся решать простые полиномы, но уравнения высших порядков десятилетиями ставили в тупик даже опытных математиков. Теперь команда исследователей предложила революционный метод, который меняет правила игры.
Почему полиномы высших степеней так сложны?
Полином — это алгебраическое уравнение, содержащее переменные в неотрицательных степенях, например, x² + 5x + 6 = 0. Его история восходит к Древнему Египту и Вавилону. Математики давно научились решать уравнения второй, третьей и четвертой степени с помощью корней (радикалов). Но когда степень превышает четыре, всё усложняется.
«Вам потребуется бесконечное количество вычислений и жесткий диск размером больше Вселенной»
Проблема в том, что радикалы часто представляют иррациональные числа — бесконечные десятичные дроби, такие как π. Хотя можно найти приближенные решения для конкретных уравнений, общего метода для всех полиномов высших степеней не существовало.
Прорыв: отказ от радикалов в пользу степенных рядов
Норман Уайлдбергер, математик из Университета Нового Южного Уэльса, и независимый специалист по информатике Дин Рубин предложили принципиально новый подход. Вместо радикалов они использовали степенные ряды — бесконечные последовательности членов с возрастающими степенями переменной. Этот метод относится к комбинаторике, а не классической алгебре.
Исследователи опирались на числа Каталана — последовательность, описывающую способы разбиения многоугольника на треугольники. Впервые их описал монгольский математик Минганту в 1730 году, а позже независимо открыл Леонард Эйлер. Уайлдбергер и Рубин расширили эту концепцию, создав структуру, которую назвали «Геоде».
Как работает метод «Геоде»?
- Использует комбинаторные последовательности вместо иррациональных чисел.
- Позволяет находить точные решения, а не приближенные.
- Применим к полиномам любой степени.
Метод уже протестирован на уравнениях пятой и шестой степени, которые ранее решались только численными методами. Например, уравнение x⁵ − x − 1 = 0 теперь имеет аналитическое решение через степенные ряды.
Где это можно применить?
Открытие особенно важно для компьютерных наук:
- Графика и 3D-моделирование — точные расчеты кривых и поверхностей.
- Криптография — усиление алгоритмов шифрования.
- Искусственный интеллект — оптимизация нейросетей.
Уайлдбергер называет это «драматическим пересмотром основ алгебры». Метод опубликован в журнале The American Mathematical Monthly и уже привлек внимание ведущих университетов.