В теории вероятностей расчет вероятности совместного наступления событий требует понимания ключевых концепций: правила умножения, условной вероятности и независимости событий. Разберем эти темы с примерами задач и решениями.
1. Правило умножения вероятностей
Правило умножения — это фундаментальный инструмент для расчета вероятности совместного наступления двух событий A и B. Однако его применение зависит от того, влияют ли события друг на друга. То есть оно зависит от типа событий — зависимые или независимые.
Для зависимых событий
Когда события A и B зависимы, наступление одного меняет вероятность другого. Например, если вы вытягиваете карту из колоды и не возвращаете её обратно, состав колоды изменяется, что влияет на вероятности последующих событий.
Формула для зависимых событий:
где:
P(A) — исходная вероятность события A,
P(B∣A) — вероятность события B после того, как A уже произошло.
Почему это работает?
Представьте, что вы разбиваете процесс на два шага. Сначала происходит A, и только потом B. Вероятность P(A) — это шанс пройти первый шаг. Если первый шаг успешен, вероятность P(B∣A) отражает шанс пройти второй шаг в новых условиях. Умножение этих вероятностей дает общую вероятность пройти оба шага подряд.
Для независимых событий
События A и B называются независимыми, если наступление одного не влияет на вероятность другого. Например, результат подбрасывания монеты не зависит от предыдущих бросков.
Формула для независимых событий:
Почему здесь нет условной вероятности?
Если события независимы, знание о том, что A произошло, не меняет наших ожиданий относительно B. Поэтому P(B∣A)=P(B), и формула упрощается.
Пример зависимости vs независимости
- Зависимые события: Вероятность вытащить вторую красную карту из колоды, если первую красную карту не вернули.
- Независимые события: Вероятность дождя завтра и того, что ваш друг купит кофе. Эти события, скорее всего, не связаны.
Как отличить зависимые и независимые события?
- Независимые события:
Примеры: подбрасывание монеты/кубика несколько раз, случайный выбор с возвращением.
Проверка: P(A∣B)=P(A). - Зависимые события:
Примеры: выбор карт из колоды без возвращения, события, связанные причинно-следственной связью.
Если P(A∣B)≠P(A), события зависимы.
2. Условная вероятность
Условная вероятность P(A∣B) отвечает на вопрос: «Какова вероятность A, если мы точно знаем, что B произошло?»
Формула:
где P(B)>0.
Интуитивное понимание
Представьте, что вы сужаете «вселенную» возможных исходов до тех, где событие B уже случилось. В этой новой «вселенной» вероятность A рассчитывается как доля исходов, где произошли и A, и B, относительно всех исходов с B.
Пример из медицины
Допустим, 1% населения болен болезнью X. Тест на болезнь дает:
- 99% вероятность положительного результата у больных (чувствительность),
- 95% вероятность отрицательного результата у здоровых (специфичность).
Вопрос: Какова вероятность, что человек болен, если тест положительный?
Решение:
- P(Болен)=0.01,
- P(Тест+|Болен)=0.99,
- P(Тест+|Здоров)=0.05
По формуле полной вероятности:
P(Тест+) = P(Болен) ⋅ P(Тест+|Болен) + P(Здоров) ⋅ P(Тест+|Здоров) = 0.01 ⋅ 0.99 + 0.99 ⋅ 0.05 = 0.0594.
Тогда условная вероятность:
Вывод: Даже при положительном тесте вероятность болезни всего ~16.7%. Это показывает, как условная вероятность помогает корректировать ожидания на основе дополнительной информации.
3. Независимые события
Независимость событий часто понимают неправильно. Например, многие думают, что если монета выпала орлом 10 раз подряд, то вероятность решки увеличивается. Это заблуждение — броски монеты независимы, и вероятность остается 0.5.
Как проверить независимость?
События A и B независимы, если выполняется любое из условий:
Важно: Независимость не означает отсутствие связи вообще. Например, рост и вес человека статистически зависимы, но это не причинно-следственная связь.
Задачи
1. Зависимые события
В корзине 5 яблок и 3 груши. Сначала вытягивают одно яблоко и не возвращают его. Какова вероятность, что вторым будет вытянута груша?
2. Независимые события
Игральная кость бросается дважды. Какова вероятность выпадения 6 в обоих случаях?
3. Условная вероятность
В колоде из 36 карт случайно вытянули туза. Какова вероятность, что это туз пик?
Домашнее задание
Задача 1.
В ящике 4 белых и 6 черных шаров. Два шара вытягивают подряд без возвращения. Найдите вероятность, что оба шара белые.
Задача 2.
Монету подбрасывают три раза. Какова вероятность получить три решки подряд?
Задача 3.
В группе 70% студентов знают английский, 40% — французский, а 25% знают оба языка. Какова вероятность, что случайно выбранный студент знает французский, если он знает английский?