{"draftJsState":{"blocks":[{"data":{"image":{"id":"680912bcd64ffd7780a79b02"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"9vl7j"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":0,"length":66,"offset":70}],"inlineStyleRanges":[],"text":"Около полутора лет назад я опубликовал на Хабре статью под названием \"Слово Божие — функциональное программирование как основа Вселенной\", в которой я рассказывал про лямбда-исчисление и про то, как программу любой сложности можно свести к алгоритму на базе всего трёх SKI-комбинаторов или же одного единственного йота-комбинатора. В ней мы разобрались с алфавитом божественного языка, на котором написана книга мироздания. Теперь же пришло время разобраться с его грамматикой.","type":"unstyled","key":"aid7s"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Красота абстракций","type":"header-two","key":"at7dm"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":1,"length":57,"offset":8}],"inlineStyleRanges":[],"text":"В посте \"Эйлер, Чёрч и Мандельброт — этюд о красоте и математике\" я упоминал, что лучшей математической мерой эстетической красоты служит колмогоровская сложность. Эта величина, названная в честь русского математика Андрея Николаевича Колмогорова, показывает то, как много символов некоего абстрактного языка программирования нужно, чтобы описать определенный математический объект.","type":"unstyled","key":"50l37"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":64,"offset":43,"style":"ITALIC"},{"length":65,"offset":210,"style":"ITALIC"}],"text":"К примеру, колмогоровская сложность строки 4c1j5b2p0cv4w1x8rx2y39umgw5q85s7uraqbjfdppa0q7nieieqe9noc4cvafzf равна её длине, ведь самое короткое её описание - это она сама. А вот колмогоровская сложность строки abababababababababababababababababababababababababababababababab гораздо меньше, так как её можно описать простым \"повтор ab 32 раза\"","type":"unstyled","key":"fi0bo"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Чем более сложный объект порождается как можно более простым паттерном, тем эстетически красивее он нам кажется. Именно из-за этого мы, люди, так любим абстракции - ведь простая в обращении абстракция может скрывать внутри себя невероятную сложность. Поэтому нам так нравятся симметрии и геометрические узоры. Самый по-колмогоровски красивый из всех известных на сегодняшний день математических объектов - это множество Мандельброта: бесконечно разнообразный мир порождается одной единственной рекурсивной формулой.","type":"unstyled","key":"8oago"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Самое невероятное свойство книги мироздания состоит в том, что она никем никогда не была написана, но читать её можно на множестве языков, и при каждом прочтении будут открываться новые смыслы. А самый поэтически складный и красивый из этих языков - это, без сомнения, язык математики. И самое по-колмогоровски красивые и сладкие уху его наречия - это теория групп и теория категорий, о которых мы сегодня и поговорим.","type":"unstyled","key":"4ikp0"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Увидеть Париж и умереть","type":"header-two","key":"ak41g"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Ранним утром 30 мая бурного 1832 года в пригороде Парижа выпущенная из дуэльного пистолета пуля оборвала жизнь двадцатилетнего юноши-республиканца. В тот день Франция потеряла одного из ярчайших гениев в своей истории и большого храбреца - последние слова умиравшего от смертельного ранения в живот дуэлянта были обращены к сидевшему у его больничной койки брату: \"Только не плачь, Альфред! Мне нужно всё моё мужество, чтобы умереть в двадцать лет!\". Так ушёл из жизни Эварист Галуа.","type":"unstyled","key":"bsv7s"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":2,"length":23,"offset":154}],"inlineStyleRanges":[],"text":"Галуа жил как француз и умер тоже так, как подобает умереть французу. Смерть дравшегося на дуэли за сердце дамы юного республиканца послужила триггером к восстанию против короля. Спустя много лет события того печального майского дня воспели, возможно и не имея вовсе того в виду, классики русской поэзии: \"У него и жены-то нет! Ну, какая еще жена, если от роду - двадцать лет, а вокруг вообще война? Был пацан - и нет пацана. Без него на земле весна\".","type":"unstyled","key":"a3u3h"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В ночь перед дуэлью Галуа отправил своему другу Огюсту Жану Батисту Шевалье все свои математические работы и письмо, в котором вкратце изложил их суть. В этих работах вечно молодой с тех пор математик заложил фундамент одной из самых основополагающих концепций современной математики - теории групп.","type":"unstyled","key":"3i858"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Теория групп - Полугруппа","type":"header-two","key":"eglop"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Самая простая структура в теории групп - это полугруппа. Полугруппа - это некое множество, для которого задана ассоциативная бинарная операция, принимающая на вход два элемента этого множества и возвращающая третий. Здесь и далее все примеры будут приведены на языке программирования TypeScript.","type":"unstyled","key":"8lh34"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"interface Semigroup {\n combine: (a: T, b: T) => T;\n}","type":"blockquote","key":"4fbke"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Примером полугруппы может служить множество натуральных чисел с операцией сложения:","type":"unstyled","key":"brksi"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const additionSemigroup: Semigroup = { combine: (a, b) => a + b };","type":"blockquote","key":"3bmej"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Множество натуральных чисел с операцией умножения:","type":"unstyled","key":"9sr2e"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const multiplicationSemigroup: Semigroup = { combine: (a, b) => a * b };","type":"blockquote","key":"7udbb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Или множество строк с операцией конкатенации:","type":"unstyled","key":"4mogt"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const concatenationSemigroup: Semigroup = { combine: (a, b) => a + b };","type":"blockquote","key":"c5abl"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Операция над элементами полугруппы обязательно должна обладать свойством ассоциативности. Давайте протестируем это с Jest:","type":"unstyled","key":"8m5k8"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const checkAssociativity = (semigroup: Semigroup, a: T, b: T, c: T) =>\n expect(semigroup.combine(semigroup.combine(a, b), c)).toEqual(\n semigroup.combine(a, semigroup.combine(b, c)),\n );\n\ncheckAssociativity(additionSemigroup, 1, 2, 3);\ncheckAssociativity(multiplicationSemigroup, 1, 2, 3);\ncheckAssociativity(concatenationSemigroup, 'a', 'b', 'c');","type":"blockquote","key":"a6jq9"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Каких-либо особо интересных свойств у полугруппы нет. Правда даже на их примере мы видим удобство теории групп - возможность работать с множествами и операциями над ними с помощью абстрактного интерфейса.","type":"unstyled","key":"1s5ca"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Например, мы можем написать функцию редукции массива значений полугруппы:","type":"unstyled","key":"52pff"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const reduceSemigroup = (array: T[], semigroup: Semigroup, initialValue: T) =>\n array.reduce((acc, value) => semigroup.combine(acc, value), initialValue);","type":"blockquote","key":"3lhuk"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Теперь мы можем использовать эту функцию для редукции массива:","type":"unstyled","key":"bfirb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const sum = reduceSemigroup([1, 2, 3, 4], additionSemigroup, 0);\nexpect(sum).toEqual(10);\n\nconst product = reduceSemigroup([1, 2, 3, 4], multiplicationSemigroup, 1);\nexpect(product).toEqual(24);","type":"blockquote","key":"1u8ip"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Использование функции редукции полугрупп плавно подводит нас к следующей, уже гораздо более интересной структуре из теории групп - моноиду.","type":"unstyled","key":"7flij"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Теория групп - Моноид","type":"header-two","key":"72q1m"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Моноид - это полугруппа с заданным нейтральным элементом.","type":"unstyled","key":"doii"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"interface Monoid extends Semigroup {\n unit: T;\n}","type":"blockquote","key":"8fe1d"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Нейтральный элемент - это такой элемент, комбинирование с которым никак не меняет любой другой элемент. Для сложения натуральных чисел таким нейтральным элементом, конечно же, служит ноль, так как сложение любого числа с нулём даёт то же самое число.","type":"unstyled","key":"7tkg1"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const additionMonoid: Monoid = {\n combine: (a, b) => a + b,\n unit: 0,\n};","type":"blockquote","key":"do8om"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Проверим это свойство моноида с помощью Jest:","type":"unstyled","key":"fva92"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const checkUnitCombination = (monoid: Monoid, value: T) =>\n expect(monoid.combine(value, monoid.unit)).toEqual(value);\n\ncheckUnitCombination(additionMonoid, 10);","type":"blockquote","key":"dggb1"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Нейтральным элементом моноида умножения натуральных чисел служит единица, так как любое число умноженное на единицу даёт то же самое число.","type":"unstyled","key":"c4fpv"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const multiplicationMonoid: Monoid = {\n combine: (a, b) => a * b,\n unit: 1,\n};\n\ncheckUnitCombination(multiplicationMonoid, 25);","type":"blockquote","key":"d0dej"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Соответственно, нейтральным элементом моноида конкатенации строк служит пустая строка.","type":"unstyled","key":"aavvb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const concatenationMonoid: Monoid = {\n combine: (a, b) => a + b,\n unit: '',\n};\n\ncheckUnitCombination(concatenationMonoid, 'a');","type":"blockquote","key":"6u73c"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":15,"offset":153,"style":"ITALIC"}],"text":"И теперь мы подходим к самому интересному свойству моноидов - для работы с ними можно использовать операцию свёртки - усовершенствованную версию функции reduceSemigroup из предыдущего раздела.","type":"unstyled","key":"1s74j"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const fold = (monoid: Monoid, values: T[]): T => \n values.reduce(monoid.combine, monoid.unit);","type":"blockquote","key":"7r1gc"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"С помощью fold нам открываются совершенно волшебные способности:","type":"unstyled","key":"8cimd"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const sum = fold(additionMonoid, [1, 2, 3, 4]);\nexpect(sum).toEqual(10);\n\nconst product = fold(multiplicationMonoid, [1, 2, 3, 4]);\nexpect(product).toEqual(24);\n\nconst concatenated = fold(concatString, ['a', 'b', 'c', 'd']);\nexpect(concatenated).toEqual('abcd');","type":"blockquote","key":"d9528"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Также мы можем определить моноиды для операций сравнения чисел.","type":"unstyled","key":"aq5a1"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const minMonoid: Monoid = {\n combine: (a, b) => Math.min(a, b),\n unit: Infinity,\n};\n\nconst maxMonoid: Monoid = {\n combine: (a, b) => Math.max(a, b),\n unit: -Infinity,\n};\n\nconst minFoldResult = fold(minMonoid, [1, 9, 6, 4]);\nexpect(minFoldResult).toEqual(1);\n\nconst maxFoldResult = fold(maxMonoid, [1, 9, 6, 4]);\nexpect(maxFoldResult).toEqual(9);","type":"blockquote","key":"23bkm"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"И более того, мы можем определить, например, моноид функций. Например, моноид унарных функций над натуральными числами, где нейтральным элементом будет функция, возвращающая свой аргумент.","type":"unstyled","key":"45l4b"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const functionMonoid: Monoid<(x: number) => number> = {\n combine: (f, g) => (x) => f(g(x)),\n unit: (x) => x,\n};\n\nconst addOne = (x: number) => x + 1;\nconst double = (x: number) => x * 2;\n\n// Обратите внимание, что первой выполняется операция double, а не addOne\nconst functionFoldResult = fold(functionMonoid, [addOne, double]);\nexpect(functionFoldResult(1)).toEqual(3);","type":"blockquote","key":"rb4"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"На примере моноида мы видим, что теория групп позволяет нам работать со множеством различных множеств и операций над ними одинаковым способом.","type":"unstyled","key":"ap7hh"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Помните, в школе нам рассказывали, что любое число в нулевой степени равняется единице, но никогда не объясняли почему?","type":"unstyled","key":"c66r0"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Это свойство становится очевидным при первом же взгляде на моноид умножения. Возведение в степень - это множественное умножение, например два в третьей степени - это умножение двойки на двойку и ещё раз на двойку, то есть два вызова функции combine у моноида умножения.","type":"unstyled","key":"p6if"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const twoInPowerThree = multiplicationMonoid.combine(\n multiplicationMonoid.combine(2,2),\n 2\n)","type":"blockquote","key":"b7ad"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":7,"offset":68,"style":"ITALIC"},{"length":7,"offset":173,"style":"ITALIC"},{"length":4,"offset":244,"style":"ITALIC"}],"text":"Но что такое нулевая степень? Это полное отсутствие вызовов функции combine. Так какое же значение мы должны получить в результате такой операции? Без использования функции combine, нам остается лишь одно свойство моноида - нейтральный элемент unit, равный в случае умножения единице.","type":"unstyled","key":"6a0tc"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Теория групп - Группа","type":"header-three","key":"4o7jd"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Группа - это моноид, для каждого элемента которого определен обратный элемент из этого же множества.","type":"unstyled","key":"7i5k9"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"interface Group extends Monoid {\n inverse: (a: T) => T;\n}","type":"blockquote","key":"chd1q"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Классическим примером группы служит опять же множество целых чисел по операции сложения:","type":"unstyled","key":"a6cp7"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const additionGroup: Group = {\n combine: (a, b) => a + b,\n unit: 0,\n inverse: (a) => -a,\n};","type":"blockquote","key":"4jdnd"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Основное свойство группы состоит в том, что комбинирование элемента с его обратным элементом всегда дает в результате нейтральный элемент группы:","type":"unstyled","key":"4msvv"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const checkInversionCombination = (group: Group, value: T) =>\n expect(group.combine(value, group.inverse(value))).toEqual(group.unit);\n\ncheckInversionCombination(additionGroup, 5);","type":"blockquote","key":"8it7d"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":3,"length":7,"offset":371}],"inlineStyleRanges":[],"text":"Можно сказать, что группа - это математическая структура, которая абстрагирует понятие симметрии. Именно с помощью этой структуры физики изучают свойства пространства, времени, энергии и элементарных частиц - в основании математического аппарата теории относительности и квантовой механики лежит теория групп. С её помощью в 1918 году Эмми Нётер доказала свои знаменитые теоремы о том, что любой закон сохранения, будь то закон сохранения энергии, импульса или заряда, исходит из фундаментальных физических симметрий.","type":"unstyled","key":"5jr4d"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Кроме того, моноиды и группы часто применяются в функциональном программировании. Если вы хотя бы немного изучите теорию групп, то увидите, что многие задачи и структуры в программировании являются частными случаями более абстрактной математической структуры. Самым простым примером группы в программировании служит система Undo-Redo, реализованная во многих приложениях.","type":"unstyled","key":"72ga7"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Монадология","type":"header-two","key":"2h8pb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Красота симметрий очаровывала людей с древних времён. В основанной легендарным древнегреческим философом и геометром Пифагором школе его ученики поклонялись монаде, изображаемой в виде круга с жирной точкой в самом её центре:","type":"unstyled","key":"flioq"},{"data":{"image":{"id":"6809154d326c8b7b5b640fdb"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Монада Пифагора","type":"atomic:image","key":"e3gpm"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Мистический смысл монады заключался в её центральной точке - эта точка олицетворяет \"ничего\", из которого возникает Вселенная. По мнению пифагорейцев, не существует никаких ограничений на возникновение всех возможных вещей из ничего, но одновременно с этими вещами также возникают и их противоположности. Раскрывая нульмерную точку на бесконечное количество противоположностей мы получаем окружность - фигуру, на которой лежит бесконечное количество точек, для каждой из которых относительно центра круга имеется противоположная точка. В целом это описание полностью ложится на понятие группы из теории групп.","type":"unstyled","key":"3l2v6"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":4,"length":12,"offset":226}],"inlineStyleRanges":[],"text":"В своем философском магнум опусе под названием \"Монадология\" великий немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц изложил свой взгляд на мир, согласно которому вся наша реальность состоит из бесконечного числа таких двойственных монад. В честь этого пифагорейско-лейбницевского понятия монады была названа основная структура из другой математической теории - теории категорий.","type":"unstyled","key":"37udt"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Если теория групп абстрагирует базовые интуитивные алгебраические и геометрические операции в общие структуры, то теория категорий - это как бы следующий шаг по лестнице абстракций - абстракция абстракций. Теория категорий исследует различные математические структуры - группы, графы, множества - как некие абстрактные категории с элементами и операциями между ними. Операции обычно изображаются в виде стрелок и так и называются \"стрелками\". Отголоском этого названия служат наверняка известные вам стрелочные функции (arrow functions) в программировании.","type":"unstyled","key":"5ljv6"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Давайте рассмотрим базовые понятия теории категорий.","type":"unstyled","key":"5vjuk"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Теория категорий - Стрелка","type":"header-two","key":"eja92"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Стрелкой (или морфизмом) в теории категорий называется связь между двумя категориями - соответствие каждого элемента первой категории какому-либо элементу второй. Возьмем к примеру две простейших категории - натуральные числа и строки из буквы \"a\".","type":"unstyled","key":"ah3u8"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"0 - a\n1 - aa\n2 - aaa\n3 - aaaa\n4 - aaaaa\n5 - aaaaaa\n6 - aaaaaaa\n7 - aaaaaaaa\n...","type":"blockquote","key":"f88r4"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Здесь наглядно видно, что каждый элемент категории чисел отображается в элемент из категории строк состоящих из буквы a. Любое такое отображение может быть описано с помощью стрелочной функции. В данном случае это:","type":"unstyled","key":"3pgn8"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const mapNumberToAString = (num: number) => \"a\".repeat(number)","type":"blockquote","key":"14dl3"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Необязательно, чтобы элементу из первой категории соответствовал уникальный элемент второй. Например, для следующей стрелки из категории натуральных чисел в категорию истинности во второй категории всего два элемента, но каждый элемент первой отображается в один из элементов второй:","type":"unstyled","key":"co4bb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"0 - false\n1 - false\n2 - false\n3 - true\n4 - true\n5 - true\n...\nn - true","type":"blockquote","key":"803f2"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Стрелочная функция в данном случае может быть описана функцией как:","type":"unstyled","key":"2811k"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const mapNumberToBoolean = (number: number) => number >= 3","type":"blockquote","key":"dh1s4"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Теория категорий - Функтор и эндофунктор","type":"header-two","key":"d8pr0"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Мы можем оборачивать элементы любой категории в некие абстрактные контейнеры. Если у нас есть категории A и B, и у нас есть некий контейнер F, который может содержать в себе один или несколько элементов категорий A или B, то мы получаем две новые категории F(A) и F(B).","type":"unstyled","key":"ctm1j"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Например, если у нас есть категория натуральных чисел и категория строк, и у нас есть некий контейнер, который может содержать их значения, например, массив, то мы получаем две новые категории - массив чисел и массив строк. В TypeScript эти связи отражаются в системе типов:","type":"unstyled","key":"acvlq"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const number: number = 1\nconst stringValue: string = 'a'\n\nconst numbers: Array = [1,2,3]\nconst strings: Array = ['a','b','c']","type":"blockquote","key":"a7mga"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В теории категорий описываются отображения между категориями элементов и категориями контейнеров, которые при преобразовании сохраняют структуру. Такие отображения называют функторами. Само отображение при этом называют map от английского слова \"map\" - карта, ведь карта - это буквально отображение какой-то территории на листе бумаги.","type":"unstyled","key":"7r5nm"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Существует несколько разных типов функторов. Самый используемый из них - это эндофунтор, в котором преобразование происходит внутри одной и той же категории контейнера F(A) -> F(B).","type":"unstyled","key":"ofhv"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"interface Functor {\n map: (arrow: (element: A) => B) => Functor;\n}\n\nconst createFunctorMapping =\n (arrow: (element: A) => B) =>\n (functor: Functor) =>\n functor.map(arrow);","type":"blockquote","key":"3ripu"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Классическим примером эндофунктора в TypeScript служит массив элементов. Например, возьмем стрелочную функцию из числа в истину/ложь из предыдущего параграфа и применим её к массиву чисел, то получим массив истин:","type":"unstyled","key":"ens5f"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const mapNumberToBoolean = (number: number) => number >= 3;\nconst mapping = createFunctorMapping(mapNumberToBoolean);\n\nconst numbers: Array = [1,2,3,4]\nconst booleans: Array = mapping(numbers) // [false, false, true, true]","type":"blockquote","key":"e4lak"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Таким образом, если стрелочная функция A->B отображает категорию А в категорию B, то с помощью эндофунктора можно построить стрелочную функцию F(A)->F(B). Хотя в большинстве случаев мы просто напрямую передаваем стрелочную функцию внутрь map:","type":"unstyled","key":"p2g0"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const numbers: Array = [1,2,3,4,5]\nconst booleans: Array = numbers.map(number => number >= 3)","type":"blockquote","key":"1brh"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Для функторов должны соблюдаться несколько законов.","type":"unstyled","key":"822a5"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":13,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Первый закон - Закон идентичности:","type":"unstyled","key":"798fh"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const id = (x: T): T => x;\nconst identityLaw = (container: Functor ) => expect(container.map(id)).equalTo(container)","type":"blockquote","key":"58mc9"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":12,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Второй закон - Закон композиции","type":"unstyled","key":"9vivb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const compositionLaw = (\n container: Functor ,\n f: (a: A) => B,\n g: (b: B) => C\n) => expect(container.map((x) => g(f(x)))).equalTo(container.map(f).map(g));","type":"blockquote","key":"9it2a"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Теория категорий - Монада","type":"header-three","key":"fus31"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Монада расширяет возможности эндофунктора:","type":"unstyled","key":"3haqr"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"interface Monad extends Functor {\n flatMap: (arrow: (element: A) => Monad) => Monad;\n}","type":"blockquote","key":"819br"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Кроме того, монаде нужен метод of, который оборачивает значение в монаду. Классическим примером монады в TypeScript служит всё тот же массив:","type":"unstyled","key":"buvd3"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"const numbers = Array.of(1, 2, 3);\nconst flatMappedNumbers = numbers.flatMap((number) => [number, number + 1]); // [ 1, 2, 2, 3, 3, 4 ]","type":"blockquote","key":"4u2kk"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Другими известными примерами TypeScript-монад могут служить Promise и Option, хотя все они как и Array сделаны в JavaScript не совсем правильно с математической точки зрения. А в более близких к чистому функциональному подходу языках и библиотеках есть ещё множество других монад. Ведь по сути, монада - это просто абстракция вычислений как таковых.","type":"unstyled","key":"bcngc"},{"data":{"image":{"id":"680915c07e92150714a16659"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"fv2r"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":7,"offset":428,"style":"BOLD"},{"length":4,"offset":451,"style":"BOLD"}],"text":"Для монад должны выполняться несколько специальных монадических законов, которые, однако, приводить здесь я не буду, так как пора завершать этот уже и без того длинный пост. Хочу лишь заметить, что самое главное преимущество монад состоит в том, что они позволяют упорядочивать исполнение изолированных вычислений. Примером такого упорядочивания в TypeScript может служить превращение Promise-монад в последовательность вызовов \"await\", вдохновленное \"do\"-синтаксисом языка Haskell.","type":"unstyled","key":"dddqg"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Заключение","type":"header-two","key":"acv5g"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В заключение я хотел бы сказать, что теория групп и теория категорий лежат в основе всей известной человеку математики, информатики и физики. Это буквально язык мироздания - самый выразительный и самый поэтически прекрасный. Его бы я выучил только за то, что им разговаривал Бог!","type":"unstyled","key":"au5j0"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":5,"length":20,"offset":93}],"inlineStyleRanges":[{"length":4,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"P.S.: больше интересных постов и видео про философию, буддизм и математику вы можете найти в моём телеграм-канале.","type":"unstyled","key":"d7ccf"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"marker","key":"WbSvAYWXnC3YQWWooa2b"}],"entityMap":{"0":{"data":{"url":"https://dzen.ru/a/ZUJLKR8mMRiC1IGd"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"1":{"data":{"url":"https://dzen.ru/a/ZUJOBE4CCUnhOl0M"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"2":{"data":{"href":"https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%8E%D0%BD%D1%8C%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_1832_%D0%B3%D0%BE%D0%B4%D0%B0","url":"https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%8E%D0%BD%D1%8C%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_1832_%D0%B3%D0%BE%D0%B4%D0%B0"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"3":{"data":{"href":"https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9D%D1%91%D1%82%D0%B5%D1%80","url":"https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9D%D1%91%D1%82%D0%B5%D1%80"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"4":{"data":{"href":"https://habr.com/ru/articles/804525/","url":"https://habr.com/ru/articles/804525/"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"5":{"data":{"href":"https://dzen.ru/away?to=https%3A%2F%2Ft.me%2F%2BcmpV78jI4iEzNTU0","url":"https://dzen.ru/away?to=https%3A%2F%2Ft.me%2F%2BcmpV78jI4iEzNTU0"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"}}},"mentions":[]}