Самая первая тема, которую я даю всем на занятиях (даже старшеклассникам) - это дроби. Да, к сожалению, очень часто ученики допускают ошибки в вычислениях с дробями, забывают, где нужен общий знаменатель, где не нужен, как перевести в десятичную дробь и т.д. В этой статье я подробно разберу всё, что касается обыкновенных и десятичных дробей.
Дробь – это число, которое показывает, сколько частей от целого ты взял.
Представь, что у тебя есть целая пицца. Дробь – это способ показать, что ты взял только кусочек этой пиццы, а не всю целиком.
- Представь пиццу, разрезанную на 8 одинаковых кусков. Это твоё "целое", которое разделено на 8 частей.
- Если ты взял 1 кусок, то ты взял 1 часть из 8. Это можно записать в виде дроби: 1/8. Число 1 (сверху) называется числитель. Он показывает, сколько кусков ты взял. Число 8 (снизу) называется знаменатель. Он показывает, на сколько всего кусков была разрезана пицца.
- Если ты взял 3 куска, то ты взял 3 части из 8. Это дробь 3/8. Опять же, 3 - это числитель, а 8 - знаменатель.
- Если ты съел всю пиццу (все 8 кусков), то это 8/8, что равно 1 (целой пицце).
Виды дробей.
В математике дроби делятся на обыкновенные и десятичные, правильные и неправильные, а также смешанные.
Что такое обыкновенные дроби я написала выше, они бывают правильные, неправильные и смешанные. У правильных дробей числитель меньше, чем знаменатель (4/5, 2/5), а у неправильных числитель больше, чем знаменатель (6/7, 1/5). В смешанных дробях присутствует целая часть.
Десятичные дроби - это другой способ записи частей чего-то, но они всегда основаны на делении на 10, 100, 1000 и так далее. Их записывают с помощью запятой (3,5).
Главное отличие: обыкновенные дроби могут показывать деление на любое число (2, 3, 4, 5, и т.д.), а десятичные всегда показывают деление на 10, 100, 1000 и т.д.
Свойство обыкновенных дробей
Числитель и знаменатель можно умножать и делить на одно и то же число, после этого вы получите дробь с таким же значением.
Умножение помогает находить общий знаменатель, а еление называется сокращением и помогает сделать числа в дробях меньше и проще.
Например сократим 10/25, для этого разделим 10 и 25 на 5. В итоге получаем 2/5. Приведём получившеюся дробь к знаменателю 15, для это надо умножить 2 и 5 на 3. Выходит дробь - 6/15.
Как неправильную дробь перевести в смешанную?
Для красивого ответа или других целей необходимо уметь переводить неправильные дроби в смешанные. Чтобы это сделать, разделите числитель на знаменатель с остатком: полученный ответ будет целой частью, а остаток новым числителем (знаменатель не меняется)
Как смешанную дробь перевести в неправильную?
Вычисления удобней делать с неправильными дробями, поэтому стоит научится переводить смешанные дроби в неправильные. Для этого целую часть нужно умножить на знаменатель дробной части, после этого её прибавить числитель. Получившееся значение записываем в числитель дроби, а знаменатель не меняем.
Действия с обыкновенными дробями
Сложение и вычитание:
- Находим общий знаменатель
- Складываем (вычитаем) числители, знаменатель оставляем таким же
Для того, чтобы получить общий знаменатель, необходимо домножить дроби на такие числа, чтобы знаменатели у них стали одинаковыми. Например: 3/4 и 8/6. Первую дробь можно умножить на 3, вторую на 2, и тогда получаем 9/12 и 16/12. Общий знаменатель - 12.
Умножение
Здесь всё просто: числитель умножаем на числитель, а знаменатель на знаменатель. Получившуюся дробь сокращаем.
Часто делают наоборот: сначала сокращают, потом умножают, так решение получается более простым.
Деление
Для того, чтобы разделить одну дробь на другую, следуйте алгоритму:
- Первую дробь переписать
- Деление поменять на умножение
- Вторую дробь перевернуть
- Выполнить умножение дробей
Действия с десятичными дробями
В десятичной дроби после запятой идут "десятые", "сотые", "тысячные" доли и так далее.
- 0,5 - это 5 десятых (5/10)
- 0,25 - это 25 сотых (25/100)
- 0,125 - это 125 тысячных (125/1000)
Как перевести обыкновенную дробь в десятичную?
- Способ 1: Сделать знаменатель 10, 100, 1000 и т.д.
Посмотри на знаменатель твоей обыкновенной дроби. Можно ли его умножить на какое-то число, чтобы получилось 10, 100 или 1000?
Например, у тебя дробь 1/2. 2 можно умножить на 5, чтобы получилось 10.
Умножь и числитель, и знаменатель на это число: (1 * 5) / (2 * 5) = 5/10
Теперь запиши это как десятичную дробь: 5/10 = 0,5
- Способ 2: Просто разделить.
Возьми калькулятор или раздели числитель на знаменатель в столбик.
Например, чтобы перевести 1/4 в десятичную дробь, раздели 1 на 4. Получится 0,25.
Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?
- Запиши десятичную дробь как обыкновенную, где знаменатель - это 10, 100, 1000 и т.д., в зависимости от того, сколько цифр после запятой.Например, 0,7 - это 7/10 (семь десятых)
- 0,35 - это 35/100 (тридцать пять сотых)
- 0,125 - это 125/1000 (сто двадцать пять тысячных)
- Потом, если можно, сократи дробь. Это значит, раздели числитель и знаменатель на одно и то же число, чтобы сделать дробь проще.Например, 35/100 можно сократить на 5: (35 / 5) / (100 / 5) = 7/20
Сложение и вычитание
Для сложения и вычитания устно есть одно главное правило - целое складываем (вычитаем) с целым, десятые с десятыми, сотые с сотыми и т. д.
Если вы считаете в столбик, то главное правило - запятая под запятой.
Для удобства в конце чисел можно добавлять нули, чтобы слагаемые были одной длины.
Умножение
Умножайте как обычно, главное в ответе правильно поставить запятую: считаем, сколько всего цифр после запятой в обоих дробях и это будет число цифр после запятой в ответе.
Деление
Делить в столбик на дробь тяжело и неудобно, поэтому придумали отличный способ упростить задачу. Для этого надо домножить обе дроби так, чтобы делитель стал целым, и только после этого делим в столбик.