Чтобы исследовать систему векторов на линейную зависимость, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Запись системы в виде матрицы:
Предположим, у вас есть система векторов:
v1 = (a11, a12, ..., a1n) v2 = (a21, a22, ..., a2n) … vm = (am1, am2, ..., amn)
Запишите их в виде столбцов матрицы A:
2. Приведение матрицы к ступенчатому виду (методом Гаусса):
Используйте элементарные преобразования строк, чтобы привести матрицу A к ступенчатому виду. Элементарные преобразования включают:
- Перестановку строк.
- Умножение строки на ненулевую константу.
- Прибавление к одной строке другой строки, умноженной на константу.
Цель состоит в том, чтобы получить матрицу, в которой:
- Все нулевые строки (если есть) находятся внизу матрицы.
- Первый ненулевой элемент в каждой ненулевой строке (ведущий элемент) находится правее ведущего элемента предыдущей строки.
3. Анализ ступенчатой матрицы:
- Ранг матрицы (r): Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в ступенчатой матрице.
- Количество векторов в системе (m): Это количество столбцов в матрице A.
- Сравнение ранга и количества векторов:Если r < m: Система векторов линейно зависима. Это означает, что хотя бы один вектор можно выразить как линейную комбинацию других векторов системы.
Если r = m: Система векторов линейно независима. Это означает, что ни один вектор нельзя выразить как линейную комбинацию других векторов системы.
4. Нахождение линейной зависимости (если система линейно зависима):
Если система линейно зависима (r < m), то можно найти коэффициенты линейной комбинации, равной нулевому вектору. Для этого нужно:
- Взять систему линейных уравнений, соответствующую матрице A:x1*v1 + x2*v2 + ... + xm*vm = 0
- Записать расширенную матрицу этой системы (матрицу A с добавленным столбцом из нулей).
- Решить эту систему методом Гаусса.
- Найти общее решение системы.
- Выбрать ненулевое решение системы. Коэффициенты этого решения будут коэффициентами линейной комбинации, равной нулевому вектору.
Пример:
Рассмотрим систему векторов:
v1 = (1, 2, 3) v2 = (2, 4, 6) v3 = (1, 0, 1)
- Матрица A:
- Анализ:
- Ранг матрицы r = 2 (две ненулевые строки).
- Количество векторов m = 3 (три столбца).
- r < m, следовательно, система линейно зависима.
- Нахождение линейной зависимости:x1*(1, 2, 3) + x2*(2, 4, 6) + x3*(1, 0, 1) = (0, 0, 0)Расширенная матрица системы:
- Из второй строки: -2*x3 = 0 => x3 = 0Из первой строки: x1 + 2x2 + x3 = 0 => x1 + 2x2 = 0Пусть x2 = 1, тогда x1 = -2.Получаем ненулевое решение: x1 = -2, x2 = 1, x3 = 0.Линейная зависимость: -2*v1 + 1*v2 + 0*v3 = 0 или v2 = 2*v1
В заключение, алгоритм исследования на линейную зависимость включает приведение матрицы к ступенчатому виду и сравнение ранга матрицы с количеством векторов в системе. Если система линейно зависима, можно найти коэффициенты линейной комбинации, равной нулевому вектору.