Простыми словами: экспоненциальные функции — это такие математические правила, которые показывают, как ваш капитал растет очень быстро, если деньги приносят проценты или доходы, которые тоже растут со временем.
Что такое экспоненциальная функция?
Это формула вида:
Y = a × (1 + r)^t
где:
· Y — это итоговая сумма (например, капитал через некоторое время)
· a — это стартовая сумма (например, начальный вклад)
· r — это процент за один период (например, за год) — выражается в виде десятичной дроби, например, 0.05 для 5%
· t — это время (например, в годах)
Это показывает, что ваш капитал увеличивается не просто так, а с каждым периодом — как снежный ком, который становится все больше.
Почему используют экспоненциальные функции?
Потому что доход растет очень быстро, когда деньги начинают приносить проценты, и эти проценты тоже начинают увеличивать сумму.
Пример:
Вы вложили 10 000 рублей под 10% годовых. А проценты начисляются каждый год.
Через сколько лет ваш капитал станет 20 000 рублей?
Используем формулу:
Y = 10 000 × (1 + 0.1)^t
Чтобы найти t, если Y = 20 000, делаем так:
20 000 = 10 000 × 1.1^t
Делим обе части на 10 000:
2 = 1.1^t
Теперь применяем логарифм, чтобы найти t. Чтобы избавиться от степени, применим натуральный логарифм (или логарифм по любой другой базе, главное — последовательность):
ln(2) = ln(1.1^t)
Используем свойство логарифмов. Логарифм степени преобразуется в произведение:
ln(1.1^t) = t*ln(1.1)
Значит:
ln(2)=t*ln(1.1)
Выражаем t:
t = ln(2)\ln(1.1)
Вычисляем:
- ln(2)≈0.693147
- ln(1.1)≈0.0953102
Тогда:
t=0.693147/0.0953102=7,276 (лет)
Почему это важно?
· Помогает понять, насколько быстро растет ваш капитал при сложных процентах.
· Позволяет планировать долгосрочные вложения.
· Показывает, как даже небольшие проценты могут привести к большой сумме со временем.
Итог
Экспоненциальные функции — это способ показать, как ваш капитал быстро растет, когда деньги начинают приносить проценты. Чем больше времени проходит, тем быстрее увеличивается общая сумма.