В сегодняшней статье разберем задание №14, посвященное решению задач про арифметическую и геометрическую прогрессию.
Задачи на прогрессии можно разделить на два подтипа по характеру прогрессии: арифметическая и геометрическая. Для решения каждого подтипа необходимо знание пары элементарных формул и умение с ними работать.
Прежде чем начать решать задачи, разберемся с теорией.
Теория
1. Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый последующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же постоянное значение.
Пример арифметической прогрессии: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, … — в этой последовательности каждое число увеличивается на 4 по сравнению с предыдущим. Следовательно, разностью данной арифметической прогрессии является число 4 (d=4).
Разностью арифметической прогрессии называют разность между последующим и предыдущим членами. (d)
Свойство арифметической прогрессии: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.
2. Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.
Другими словами, последовательность (bn) – геометрическая последовательность, если для натурального n выполняются условия:
Примером такой последовательности может быть ряд чисел 2; 10; 50; 250;…., откуда видно, что каждое последующее больше предыдущего в пять раз, значит, каждый член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число 5.
Фиксированное число q называется знаменателем геометрической прогрессии.Чтобы найти его, достаточно поделить какой-нибудь член геометрической прогрессии на предыдущий.Знаменатель не может быть равным нулю!
Свойство геометрической прогрессии:
Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов. Формула:
Верным является и утверждение, обратное данному: если в последовательности чисел, отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность чисел является геометрической прогрессией.
Другими словами, с помощью данной формулы можно найти неизвестный член геометрической прогрессии, соседние члены которого известны.
Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии: Для нахождения суммы по данной формуле нужно знать первый и последний член геометрической прогрессии, а также ее знаменатель.
Также есть вторая формула, по которой можно находить сумму нескольких первых членов прогрессии, зная только первый ее член и знаменатель:
Практика
Теперь перейдем к разбору практических заданий из банка ФИПИ.
На этом наш обзор задания № 14 подошел к концу. Подписывайтесь на мой канал , чтобы не пропускать новые полезные материалы. Поставьте лайк, если данная статья была полезна вам! До новых встреч, дорогие друзья!