Продолжение предыдущей моей темы о геометрии в физике, механике, находящейся по адресу здесь .
В ней я писал, что в соответствии с классической физикой и механикой, включающей в себя СТО, в полном соответствии с первым законом Ньютона, невзаимодействующая ни с чем м.т. движется по прямой равномерно и прямолинейно. Для плоского пространства, в соответствии с геометрией Евклида, геодезическая линия оказывается тождественной прямой линии.
В римановом пространстве, коими являются все неинерциальные и криволинейные с.к., аналогом прямой линии является геодезическая линия. В общем случае в криволинейном пространстве движение вдоль геодезической связано с изменением координатной скорости вдоль траектории и изменением её направления. Для примера нарисуем на бумаге координатную сетку в виде окружностей и прямых линий, начинающихся в общем центре (сим. Рисунок). Координатами точки на рисунке будут расстояние R от общего центра и угол j от горизонтального направления. Также параллельно построим на ней же прямоугольную декартову систему координат (x, y). Разложим нашу бумагу с нарисованными координатными системами на ровном столе.
Движение по геодезической прямой в полярной с.к.
a) в евклидовом плоском пространстве;
б) при отображении из полярной с.к. в евклидово пространство.
Возьмём металлический шарик и запустим её со скоростью V вдоль линии АВ. Если мы проигнорируем трением шарика, то шарик покатится от точки А к точке В с постоянной скоростью в полном соответствии с первым законом Ньютона. Это очевидно (хотя и Аристотелю это было не очевидно. Учёный есть учёный – все должен подвергать сомнению. Но мы то знаем, что Ньютон правее). Равномерное прямолинейное движение происходит без ускорения. Правда, мы при получении этого вывода не оперировали никакими координатами. Все было очевидно. Хотя … нет. Очевидно, потому что мы по умолчанию пользуемся евклидовой геометрией и декартовой прямоугольной системой координат, которая на рисунке определена через координаты (x, y).
Теперь рассмотрим эту же ситуацию с т.з. полярной системы координат. Немножко отвлечёмся и ответим на первый вопрос: можно ли назвать полярную с.к. неочевидной? Пожалуй, нет: если мы спрячем клад в 50 шагах от большого дерева и 60 градусах к западу от северного направления по компасу, как делали пираты, то мы можем сделать вывод, что пираты пользовались (и пользуются) полярной с.к. Вернёмся к нашей механике. Точнее, к кинематике. Здесь второй вопрос: в полярной с.к. шарик двигается по прямой (уточню: в полярной с.к.) – или всё же нет? Ясно, что "да". Это же очевидно. А может, что все же нет? И это "нет" отрисовано на том же рисунке справа условно как прямое отображение полярных координат (R, φ) в прямоугольную евклидову с.к.: фактически мы все "радиальные" координатные линии "отобразили" в горизонтальные параллельные линии координат, а "круговые" координатные линии спрямили в вертикальном направлении. Из неё ужу "оче"видно, что прямая в полярной с.к. вовсе и не прямая. Скорость, очевидно, будет определяться уже не только в [м/с], но и в [град/с] для "углового" направления
Следовательно, такое движение ускоренное. Надо понимать, что ускорение бывает не только продольным, т.е. в направлении движения. Ускорение бывает и в поперечном направлении – точнее, любое изменение скорости и/или её направления определяется как ускорение. И третий вопрос: как мы можем её определить? На практике это просто: следим за шариком и через определённый промежуток времени записываем её координаты в полярной с.к. А затем уже вычисляем скорость и ускорение. Но это не физика. И не механика. Опыт, эксперимент – это метод физики и механики, через который подтверждается физическая или механическая теория. А наука "физика и механика" определяется теорией, которая позволяет предсказать результаты опытов некоторой математической теорией. Математика – это ещё один инструмент физики.
В абстрактном математическом смысле движение вдоль геодезической соответствует коллинеарному (т.е. параллельному, продольному) переносу вектора скорости в пространстве в направлении перемещения. Для произвольного вектора Aj в римановом пространстве изменение вектора dAj при её перемещении на dqk определяется "простой" (шутка) формулой
Здесь Гijk – если по "простому", то это псевдотензор аффинной связности, или, по–другому, символы Кристоффеля второго рода риманова пространства–времени. Именно они учитывают влияние криволинейности (искривлённости) используемой координатной системы для определения движения по геодезической прямой.
Зная метрику риманова пространства, коэффициенты псевдотензора связности можно определить опять же с помощью очень "простой" формулы
(все вопросы по выводу данной формулы, а также и следующей, к математикам. В Частности, к Гауссу и Риману. А если совсем по простому, то элементы Gnm "градуируют" координатную сетку) через эталоны длины и времени.
Теперь ещё чуть–чуть – и получим формулу для ускорения движущейся в криволинейном римановом пространстве и времени материальной точки. Эта формула совсем простая, но позволяет определить ускорение Wi вдоль геодезической:
(напомню: решение этого уравнения дает наикратчайшую по параметру S траекторию между двумя точками пространства).
Здесь S – интервал, или некий аддитивный метрический параметр вдоль геодезической траектории движения. О ней смотрите в предыдущей статье.
Vi – координатная скорость м.т. вдоль геодезической линии.
Wi – координатное ускорение м.т. вдоль геодезической линии,
Здесь самые важные слова – "координатное". С т.з. физика эти координатные скорость и ускорение можно определить как "свободное инерционное движение м.т. вдоль геодезической риманова пространства", которое наблюдатель, ассоциированный с движущейся по геодезической м.т., не заметит никакими приборами, в т.ч. и акселерометром. Но вполне может "вычислить" из наложенной на ПВ координатной сетки, если она ему доступна. Сила, которую можно связать с этим ускорением по аналогии со вторым законом Ньютона: Fi = mwi, можно назвать "силой инерции"***, которая связана с произвольностью наложенной в пространстве системы координат, которую принято называть неинерциальной и/или криволинейной (НСО, НИСО, КСО, КИСО) системой координат. В НСО КМН эти формулы соответствуют первому и второму законам движения Ньютона м.т. в римановом ПВ. Но только в механике Ньютона и классической физике ускорение и сила определяются по отношению не к интервалу s, а к координате времени t: wi = wi(t).
Пример
Для примера рассмотрим равномерное и прямолинейное движение м.т. в неподвижном однородном изотропном пространстве O(x, y) (см. Рисунок выше). Из этого описания задачи следует, что м.т. не имеет ускорения и движется равномерно и прямолинейно по инерции в соответствии с первым законом Ньютона. Об этом я уже писал выше.
Но если мы разметим ПВ в стационарной полярной с.к. O(r, φ), то мы будем иметь риманово криволинейное пространство, с символами Кристоффеля
G122 = –r;
G212 = G221 = 1/r;
(все остальные элементы нулевые)
(с вопросами к Гауссу и Риману). Тогда, заменив параметр s параметром t (или l, что соответствует пространственному расстоянию в ПВ при равномерном движении по траектории), для ускорений движения м.т. имеем следующие уравнения движения м.т.:
Решением этой системы после подстановки значений символов Кристоффеля будут следующие уравнения:
Здесь vr = v(1) = dr(1)/dt – скорость линейная радиальная м.т.,
vj = v(2) = dr(2)/dt = dφ/dt = w – скорость угловая м.т. по углу поворота j.
Соответственно, член dvr/dt = (vj)² r соответствует центробежному ускорению, а член dφ/dt – угловому ускорению в заданной полярной с.к. А траектория в полярной криволинейной с.к. в отображении на декартовы координаты плоскости соответствует прямой линии, а в полярной спрямлённой – дуге. Причём полярная спрямлённая с.к. соответствует риманову пространству с переменной метрикой, несмотря на её визуально вполне плоский однородный изотропный вид на рисунке.
Правда, ради справедливости, надо сделать замечание: данный результат верен только при ds = dt. Но при скорости, стремящейся к нулю, этот результат верен с ошибкой, пропорциональной квадрату скорости практически в любом ПВ.
Можем найти и ускорение по временной координате с нулевым индексом. Т.к. в этом случае все символы Кристоффеля равны нулю, то имеем:
Этот результат вполне согласуется со скоростью изменения временной координаты:
Здесь нам нет необходимости даже определять конкретный вид метрики для интервала s: при любой виде метрики при постоянной линейной скорости метрическая скорость dt/ds не изменяется – по условию однородности и изотропности задачи.
Вопрос: как эти ускорения соотносятся с реальностью?
Естественно, реальное физическое ускорение при движении по геодезической в произвольной криволинейной с.к., измеренное в физическом эксперименте акселерометром, при отсутствии внешних полей, будет равно нулю, что соответствует равномерному инерционному движению по геодезической траектории риманова ПВ. Никакие приборы, измеряющие ускорение (акселерометр – фактически измеритель силы или веса), не покажут их наличие. Эти ускорения – чисто координатные ускорения, соответствующие параметризации ПВ. Реальные ускорения и силы, которые могут быть измерены акселерометром, могут появиться только при наличии внешних, не гравитационных, воздействий на тело. При движении под действием гравитационных сил по геодезической акселерометр ничего не покажет. Но вот действующее на земле тело, кроме сил инерции, действует реакция поверхности земли, не дающая телу свободно падать к центру Земли. В этом случае акселерометр покажет наличие ускорения, соответствующую его весу и массе. Хотя. Из нашего богатого опыта жизни на поверхности Земли, реального ускорения тело как будто бы и не будет иметь. Другой пример – электромагнитные силы. В этом случае заряженное тело при наличии электромагнитного поля просто не может двигаться по гравитационной геодезической с нулевым ускорением по показаниям акселерометра: акселерометр покажет электромагнитное ускорение в пространстве.
Другой пример – космический корабль с космонавтом на орбите Земли с т.з. другого удалённого наблюдателя имеет определённое ускорение и скорость движения. Следовательно, на него должны действовать силы. Но с точки зрения космонавта на корабле космонавт летит и никаких реальных ускорений не испытывает – летит по геодезической линии по инерции с кораблём. И акселерометр ничего не покажет. Вроде бы противоречит здравому смыслу – ведь корабль притягивается Землёй и летит по криволинейной (эллиптической) траектории с точки зрения земного наблюдателя, и, следовательно, должно существовать ускорение. Но если встать на точку зрения космонавта, находящегося внутри корабля с зашторенными иллюминаторами, никакого притяжения Земли он не замечает – внутри состояние невесомости. И даже вряд ли поймёт, что находится в поле притяжения Земли, пока не выглянет в иллюминатор. И даже измерительный прибор (акселерометр) ничего не показывает. В этом смысле про ускорение можно сказать, что она относительна. Но локально ускорение абсолютно, т.к. её можно измерить акселерометром.
Скорость, как и ускорение, может быть абсолютным. Но только в тех ПВ, в которых можно выделить некое абсолютное ПВ. Но если такое выделенное ПВ невозможно определить, то абсолютная скорость уже не может быть измерима. Измеримы будут только относительные скорости. Для измерения относительного движения в пространстве и времени нужна координатная сетка. Координаты можно задать достаточно произвольно. Физически в целях познания они определяют необходимость применения эталонов длины и времени.
*** Термин "сила инерции" применяется для описания трёх различных векторных физических величин, имеющих размерность силы: «эйлерова», «даламберова» и «ньютонова» силы инерции. Например, движение по поверхности сферы в сферических координатах невозможно описать без сил инерции (переносная (поступательная), кориолисова, вращательная, центробежная). И отклонение движения м.т. от "прямой" с т.з. сферической координатной системы объясняется с помощью эйлеровых "сил инерций".
Русскоязычный термин «сила инерции» произошёл от французского словосочетания фр. force d'inertie. В других языках используемые названия сил инерции более явно указывают на их особые свойства: в немецком нем. Scheinkraft («мнимая», «кажущаяся», «видимая», «ложная», «фиктивная» сила), в английском англ. pseudo force («псевдосила») или англ. fictitious force («фиктивная сила»). Одновременно с этим в литературе иногда подчёркивают реальность сил инерции.