Пятое задание ОГЭ относится к теме «Простой линейный алгоритм». Основная идея задания заключается в том, что из входного числа получается выходное число при помощи двух данных команд.
Как правило, среди команд алгоритма будет одна неизвестная, например: «Умножь на b». При этом, известен сам алгоритм, начальное число и конечное число.
Задание можно решать двумя путями: подбором или уравнением. Если Вы хотите решать подбором, то дальше можно не читать. Берёте задачу и сидите подбираете нужное значение. А если Вы хотите быстро и точно научиться решать данное задание, то приступим к разбору.
Пример задания
У исполнителя Альфа две команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 1;
2. умножь на b
(b — неизвестное натуральное число; b ≥ 2).
Выполняя первую из них, Альфа увеличивает число на экране на 1, а выполняя вторую, умножает это число на b. Программа для исполнителя Альфа — это последовательность номеров команд. Известно, что программа 11211 переводит число 6 в число 82. Определите значение b.
Анализ
Это самый стандартный вид задач данного типа. Известно входное и результирующие число, известен алгоритм. Неизвестно только число, на которое выполнялось умножение.
Решение
Шаг 1 - составим уравнение
Начальное значение известно, оно равно 6. По алгоритму, к начальному числу два раза прибавили по единице (потому что, согласно заданию, команда 1 означает «прибавь 1»). Получается, что сейчас число уже равно 8.
После этого выполняется умножение на неизвестное b. Получаем:
После этого, согласно алгоритму, к результату умножения было снова добавлено два раза по единице. А ещё нам известно, что результат должен быть равен 82. Получаем уравнение:
Шаг 2 - решим уравнение
Двойка переносится в правую часть и остаётся:
Таким образом, b = 10
Ответ: 10
Дополнительный Пример №1
У исполнителя Квадратор две команды. которым присвоены номера:
1. возведи в квадрат
2. прибавь 3
Первая из них возводит число на экране во вторую степень, вторая увеличивает его на 3.
Составьте алгоритм получения из числа 1 числа 25, содержащий не более 5 команд. В ответе запишите только номера команд.
В таких заданиях лучше всего идти с конца и использовать при вычислениях арифметические операции, противоположные тем, что даны в условии. Противоположная команда для возведения в квадрат - это получение квадратного корня. Противоположная команда для прибавление тройки - это вычитание тройки.
Сразу видно, что можно получить квадратный корень от 25. Получим число 5. Из 5 квадратный корень уже не взять, можно только использовать другую команду - вычитание. 5 - 3 = 2. С имеющимися командами, нам никак не достичь единицы. Значит эта стратегия неверная.
Пойдём другим путём. Попробуем вычитать тройку до тех пор, пока не наткнёмся на число, из которого можно будет извлечь квадратный корень.
25 - 3 = 22
22 - 3 = 19
19 - 3 = 16
Извлекаем квадратный корень из 16, получаем число 4. Можно извлечь квадратный корень, но тогда снова придём к числу 2, а из него, как известно, решения нет. Попробуем вычитание.
4 - 3 = 1.
Получилось!
Теперь обратим внимание на команды, которые мы применяли:
- 25 - 3 = 22
- 22 - 3 = 19
- 19 - 3 = 16
- sqrt(16) = 4
- 4 - 3 = 1
Получаем следующий алгоритм: 22212. Теперь его нужно перевернуть, так как в задании спрашивали как превратить 1 в 25, а наш алгоритм превращает 25 в 1. Переворачиваем алгоритм и получаем: 21222. Алгоритм содержит не более 5 команд, как и требовалось в задании.
Ответ: 21222
Дополнительный Пример №2
У исполнителя Квадратор две команды, которым присвоены номера:
1. возведи в квадрат
2. прибавь b
(b — неизвестное натуральное число)
Первая из них возводит число на экране во вторую степень, вторая прибавляет к числу b. Программа для исполнителя — это последовательность номеров команд.
Известно, что программа 12122 переводит число 2 в число 72. Определите значение b.
Составим уравнение по имеющемуся алгоритму:
Немного упростим это выражение:
Раскрываем скобки по формуле квадрата суммы:
Теперь упростим и перенесём 72 в левую часть:
По формуле дискриминанта получим два корня: 4 и -14. Отрицательные корни рассматривать не нужно, поэтому ответ 4.
Прежде чем записывать ответ, на всякий случай подставим вместо b четыре и проверим алгоритм:
Всё правильно, при b =4 мы получили из 2 число 72 по заданному алгоритму.
Ответ: 4