Пространство с криволинейной с.к. в общем случае является римановым пространством. Наиболее ярким признаком криволинейного пространства является неравенство постоянному значению соответствующего ему метрического тензора. В физической интерпретации метрическое пространство является одним из моделей реального пространства–времени. Важным объектом риманова пространства является определение прямой линии как линии, вдоль которой расстояние между любыми двумя точками принимает минимальное значение. Эта линия называется геодезической линией.
Геодезическая линия является расширением понятия "прямой" на римановы пространства, и именно на той "прямой", которая соединяет любые две точки по траектории с минимальным расстоянием. Понятие "расстояние" – это некоторое универсальное наименование параметра, через которое геометризуется пространство. На месте параметра "расстояние" может быть использован любой другой параметр, через который оптимизируется некая аддитивная интегральная величина вдоль всех возможных путей между двумя точками пространства. Например, время движения по ней. Или часто упоминаемый выше "интервал".
В классической физике и механике, включающей в себя СТО, в соответствии с первым законом Ньютона, невзаимодействующая ни с чем м.т. движется по прямой равномерно и прямолинейно. В римановом пространстве, коими являются все неинерциальные и криволинейные с.к., аналогом прямой линии является геодезическая линия. Для плоского пространства геодезическая линия оказывается тождественной прямой линии. Поэтому мы по аналогии можем постулировать, что свободное движение м.т. в плоском (евклидовом, псевдоевклидовом) пространстве хотя бы в отношении первого закона Ньютона происходит вдоль "прямой" геодезической линии. Во всяком случае, для плоского пространства это определение прямой как линии движения м.т., совпадает с законом движения по прямой. И это верно даже если на ней определено некоторое произвольно размеченное криволинейное (и даже неинерциальное), но все же плоское, ПВ.
Объяснение второго закона Ньютона с геометрической т.з. сложнее. В формуле Fi = mwi, несмотря на то, что используются векторы, трудно усмотреть геометрический смысл. В геометрии не используются термины "сила", "масса", "скорость" и "ускорение". Но всё же и тут можно выйти на геометрическую интерпретацию второго закона Ньютона. Действительно, в теоретической механике, изучающей движение м.т., существует принцип наименьшего действия, в соответствии с которым м.т. между двумя точками ПВ движется таким образом, что некоторый интеграл S:
называемый действием, имеет минимальное значение. Под минимальным действием в математической интерпретации может пониматься все что угодно. Например, время, расстояние. Расход топлива. ... В физической интерпретации под ним понимается некоторая конструкция, состоящая из времени и расстояния, и которая называется "действие", а в математической - "интервал". Например, в квантовой механике под ним понимается количество периодов волны типа Де Бройля, которым представляется материальная точка. Если мы определим лагранжиан L в принятой учеными-физиками форме
где K – кинетическая энергия, mU – потенциальная энергия, то имеем следующую уравнение для действия:
Подставив вместо K классическую формулу кинетической энергии K = mv2/2, получим следующее уравнение для действия:
Преобразуем подынтегральное выражение определённым образом:
Выражение в скобках здесь уже является определением линейной метрики в ПВ, которым занимается геометрия и могут применять физики с механиками. В качестве примера можно привести лагранжиан для не быстрой заряженной м.т. в электромагнитном поле:
Здесь A0, Ai – векторное потенциальное электромагнитное поле. Для быстрой заряженной м.т. в электромагнитном поле лагранжиан следующий:
Здесь уже можно вспомнить про А.Эйнштейна. В физической интерпретации функция Лагранжа как метрическая функция говорит о том, что изменяются "скорость" течения времени и/или длина линейки. Но для нас с Вами, людей, ходящих по улице и не думающих об этих тонких материях, это совершенно ни о чем не говорит. Как наши часы ходили, так и будут продолжать ходить. Как мы нашими линейками измеряли, так и будем измерять. В соответствии с принципом относительности, мы ничего не заметим. Разве что экспериментаторы, сравнивая покоящиеся и движущиеся эталоны часов и линеек, заметят разницу где-то после десяти – пятнадцати нулей после запятой.
Эти уравнения, формулы и форма для интервала, конечно, далеки от идеала. Но они показывают потенциальную возможность применения "геометрических" понятий "расстояния" типа "интервал" в физике и механике при формулировании законов движения м.т. в ПВ. Более того, экспериментаторы могут "заметить" эти "геометрические" "моменты" в своих экспериментах, будоража членов коров и членов различных редакций успехами физических наук.
Продолжение здесь .