— Что, Василич, думаешь, куда бы пристроить эти плафоны повыгоднее?
Глупая шутка и смех сварщика вывел прораба из задумчивости.
— Да иди ты, и без тебя тошно...
— А что такое?
— Да вот, просто беда с этими плафонами.
Прораб в очередной раз окинул взглядом аккуратную пирамиду из шарообразных стеклянных плафонов, которым предстояло занять свои места в подъездах только что отстроенного дома. Плафоны были заботливо уложены в пирамиду из десяти слоёв с основанием в виде правильного треугольника, причем плафоны каждого следующего слоя лежали в ямках предыдущего.
— А почему не в ящиках?
— Вот и я удивляюсь, почему не в ящиках. — только и ответил прораб. — Но тут не в этом дело. Я просто не знаю, сколько их здесь!
Петрович только присвистнул, представив, как сейчас Василич будет разгребать эту пирамиду, чтобы посчитать плафоны.
— Ну, ты на глаз прикинь. Я вижу, что здесь... — сварщик прищурился, сделав вид, что считает плафоны. — Много.
— Ох и шутник. Я же серьёзно говорю. Беда не в том, много здесь или мало, а в том, что мне нужно знать точное количество. На весь этот корпус требуется 250 плафонов. И я вот теперь размышляю — достаточно ли их здесь или придётся ещё заказывать.
— Ну ладно, Василич, ты тут считай, а я пошёл, у меня дела.
— А ещё друг называется!..
Прораб оказался в непростой ситуации — ему придётся разобрать всю пирамиду и пересчитать плафоны. Или нет?
Можете ли вы, не разбирая всю треугольную пирамиду из плафонов, уложенных в десять слоёв, сказать, достаточно ли их здесь или Василичу придётся подавать дополнительную заявку?
Ответ, как обычно, вы узнаете ниже.
Итак, в этой фантастической (или не очень) ситуации плафоны уложены в правильную пирамиду с треугольным основанием, всего в пирамиде десять слоёв, и плафоны каждого следующего слоя лежат в ямках между плафонами предыдущего слоя. То есть, если начать разбирать пирамиду сверху, то количество плафонов в слоях будет следующим:
Первый слой — 1 плафон
Второй слой — 3 плафона
Третий слой — 6 плафонов
Четвёртый слой — 10 плафонов
...
И можно заметить, что укладка предметов в такую пирамиду подчиняется простой закономерности: количество предметов в каждом последующем слое, если считать сверху вниз, увеличивается относительно предыдущего слоя на номер этого (текущего) слоя. То есть, в первом слое находится 1 предмет, во втором слое 1 + 2 = 3, в третьем слое 3 + 3 = 6, в четвёртом слое 6 + 4 = 10, и т.д.:
Но здесь незачем считать шары в каждом слое, на помощь приходит простая формула:
1/2n(n+1) или (n(n+1))/2
где n — количество шаров в стороне треугольника.
То есть, если сторона треугольника содержит 5 шаров, то всего в этом треугольнике 1/2 х 5(5+1) = 1/2 х 30 = 15 шаров. В чём легко убедиться:
Не будем вдаваться в длительные расчёты, а сразу представим количество шаров в первых одиннадцати слоях пирамиды: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66.
И, сложив все эти числа, мы можем посчитать общее количество шаров в такой пирамиде. Но проще воспользоваться формулой:
1/6n(n+1)(n+2) или (n(n+1)(n+2))/6
где n — количество шаров, уложенных вдоль ребра пирамиды, или, что то же самое, количество слоёв в пирамиде.
Мы знаем, что плафоны, перед которыми сейчас стоит прораб, уложены в десять слоёв, то есть, их общее количество составляет: (10(10+1)(10+2)/6 = (10х11х12)/6 = 1320/6 = 220. А это значит, что Петровичу придётся подать заявку ещё на 30 плафонов, иначе внутреннюю отделку дома в установленные сроки ему не выполнить.
Кстати, в этой задаче речь идёт о так называемых "треугольных" числах, но подробно эту тему разбирать здесь нет смысла — это куда более интересно и понятно сделал Мартин Гарднер и другие популяризаторы науки.