Объединение множеств
Определение. Объединение множества А и множества В называется множество A⋃B, которое состоит из всех элементов исходных множеств A и B вместе.
В объединение включаются все элементы, которые присутствуют хотя бы в одном из исходных множеств. Следует отметить, что при объединении множеств общие элементы не повторяются.
Пример
Найдём попарные объединения множеств из опыта с кубиком:
Выпадет чётное число очков. А = {2, 4, 6};
Выпадет шестёрка. В = {6};
Выпадет простое число. С = {2, 3, 5}.
Объединения:
A⋃B = {2, 4, 6},
A⋃C = {2, 3, 4, 5, 6},
B⋃C = {2, 3, 5, 6}.
Объединение множеств легко представить с помощью диаграммы Эйлера. Левый круг на диаграмме соответствует множеству А, правый — множеству В. Фигура, образованная двумя кругами, представляет собой объединение этих множеств, обозначаемое как A⋃B.
Варианты взаимного расположения множеств при их объединении
1. Если два множества имеют общую часть, то их объединение включает в себя все элементы, которые принадлежат обоим множествам, включая их общую часть.
2. Если множества не имеют общей части, то их объединение включает оба круга целиком.
3. Если множества совпадают, то их объединение также совпадает с каждым из них.
4. Если одно множество вложено в другое, то объединение представляет собой большее из них.
Пересечение множеств
Определение. Пересечение A⋂B двух множеств A и B состоит из элементов, которые принадлежат обоим исходным множествам.
Пример
Давайте вернёмся к примеру с кубиком и рассмотрим пересечения множеств:
Выпадет чётное число очков. А = {2, 4, 6};
Выпадет шестёрка. В = {6};
Выпадет простое число. С = {2, 3, 5}.
Пересечения:
A⋂B = {6},
A⋂C = {2},
B⋂C = {∅}.
Чтобы изобразить пересечение множеств A и B на диаграмме Эйлера, достаточно выделить общую часть фигур, которые представляют эти множества.
Варианты взаимного расположения множеств при их пересечении
1. Если два множества имеют общую часть, то их пересечение – эта общая часть.
2. Если множества не имеют общей части, то их пересечение – пустое множество.
3. Если множества совпадают, то их пересечение равно каждому из них по отдельности.
4. Если одно множество содержится внутри другого, то пересечение этих множеств будет представлять собой меньшее из них.
Дополнение множеств
Пример
Снова кубик, но теперь дополнения:
Выпадет чётное число очков. А = {2, 4, 6};
Выпадет шестёрка. В = {6};
Выпадет простое число. С = {2, 3, 5}.
Домашнее задание:
Примечание: элементы (числа в фигурных скобках) писать в порядке возрастания.