Обучаясь математике, ученики рассматривают много разнообразных задач. Для каждой разновидности задач преподавателем обычно предлагается свой подход к решению. Многие ученики, не видя другого выхода, начинают учить наизусть правила решения каждого отдельного типа задач, не видя никакого смысла вдаваться в дальнейшие подробности. В результате никакие задачи кроме, в лучшем случае, типовых такие ученики решать не могут. И ничего, кроме отвращения, к математике не испытывают.
Вместе с тем, уже давно известен общий метод решения математических задач: он был изложен в XX веке математиком Дьёрдем Пóйа в его книге «Как решать задачу», изданной на русском языке в 1959 году. Освоив его, вы сможете при достаточной целеустремлённости решить любую математическую задачу.
Общий смысл метода
Вообразите себе ученика на контрольной работе по математике. Получив набор задач, чаще всего не полностью совпадающих с теми, которые рассматривались на уроках и требующих дополнительных действий для успешного решения, он начинает примерять на задачу известные ему заученные ранее шаблоны. В конце концов ученик приходит к выводу — ни один шаблон не подходит!
Не видя лучшего выхода, ученик растерянно произносит: «Мы такого не решали».
С одной стороны, он прав — точно таких же типовых задач не решалось. С другой стороны, опираясь не на рассмотренные шаблоны, а на знания, на которых они построены, ученик с лёгкостью справился бы с задачами.
В основу метода, описанного Пойа, положена работа именно со знаниями, а не с типовыми шаблонами. Это отличается от взгляда на задачи, которому обычно обучают в школах, поэтому предупрежу заранее — его метод поначалу может показаться трудным и непривычным.
Выберите абсолютно любую математическую задачу (впрочем, лучше — для большей наглядности — что-нибудь из школьного учебника). Возьму для примера задачу из учебника Никольского по математике за пятый класс:
Путешественник идёт из одного города в другой 10 дней, а другой путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней встретятся путешественники, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?
Как понять задачу
Первый шаг метода — понять постановку задачи. Это не означает бегло прочесть её и сделать вывод, что в целом прочитанное понятно. Математическая задача — не художественный текст, поэтому требует к себе вдумчивого отношения и внимания к деталям.
Предварительно нужно убедиться, что вы понимаете каждое слово и выражение, упомянутое в задаче. Полагаю, каждый читатель знаком со словарным смыслом общеупотребительных слов, поэтому ради краткости не буду подробно вдаваться в их толкование. А вот что сделать стоит — так это рассмотреть текст задачи по простым предложениям:
- Путешественник идёт из одного города в другой 10 дней.
- Другой путешественник тот же путь проходит за 15 дней.
- Через сколько дней встретятся путешественники?
- Путешественники вышли одновременно навстречу друг другу из этих городов.
Теперь нужно понять, что дано, то есть извлечь из каждого предложения полезную для решения задачи информацию.
В математических рассуждениях ошибочно — а подчас даже вредно — додумывать то, о чём не упомянуто прямо. Возможно, при беглом взгляде могло показаться, что на весь путь из одного города в другой у путешественника уходит 10 дней, хотя на самом деле это не так. По первому предложению можно сделать только один точный вывод: за 10 дней пути путешественник, выйдя из одного города в направлении другого города, преодолел какую-то часть пути между этими городами, ведь он идёт, а не проходит всё расстояние.
Второе предложение добавляет новые данные: другой путешественник проходит за 15 дней точно такую же часть пути между двумя городами, какую первый — за 10 дней.
Третье предложение ставит вопрос задачи — к нему сейчас вернёмся, пока достаточно того, что он обнаружен.
Наконец, четвёртое предложение вводит дополнительное условие: путешественники вышли из этих городов навстречу друг другу. Сама формулировка наводит на мысль, что путешественники точно вышли из разных городов, иначе хотя бы один город остался бы незадействованным. Выражение «навстречу друг другу» следует толковать как «по одному и тому же пути с разных его концов».
Итого получаем то, что дано:
- Путешественник проходит неизвестную часть пути между городами за 10 дней.
- Другой путешественник проходит точно такую же часть пути между городами за 15 дней.
- Путешественники одновременно направились по одному и тому же пути из разных городов.
Следующий вопрос — что требуется найти. Ответ находится на виду в вопросе задачи: требуется найти количество дней с начала пути путешественников, после которого они встретятся.
Далее ставится вопрос о том, достаточно ли данных в условии задачи, чтобы найти то, что требуется. Обычно школьные задачи считаются всегда однозначно определёнными, но, не принимая эту условность, можно сразу сделать вывод о том, что задача недоопределена.
Почему? Потому что не дано расстояние между городами, и его нельзя выразить однозначно из предоставленных данных. Конечно, можно ввести в задачу новый параметр и выразить зависимость количества дней до встречи от расстояния между городами, но знаний пятиклассника для этого явно недостаточно. Решение такой задачи можно на этом закончить.
В общем и целом, на этом этапе вы получаете либо чёткий набор «дано и найти», либо чёткий вывод о том, что данных из условия недостаточно. В любом случае, становится ясно, что делать дальше.
Как составить план решения задачи
Итак, предположим, что задача понята, «дано и найти» получены. Следующий этап — составление плана решения задачи.
Нужно обязательно представлять себе, как дойти от «дано» до «найти», узнать, как они связаны. Для этого прежде всего стоит пристально взглянуть на то, что дано, и на то, что требуется найти, а затем ответить на вопрос: встречалась ли вам похожая задача с такими же или очень похожими данными?
Здесь сразу оговорюсь, что все математические теоремы тоже считаются задачами.
Если похожая задача встречалась, то «примерьте» на неё данные решаемой задачи. К примеру, если раньше вам уже доводилось находить площадь треугольника по известным длинам трёх его сторон, а в решаемой вами задаче даны длины трёх сторон какого-либо треугольника, вы точно сможете найти его площадь.
Если аналогичной задачи не нашлось, подумайте, можно ли взять какую-то часть метода решения похожей задачи и применить его в решении текущей задачи. К примеру, очень часто, если задачу не удаётся решить напрямую, используется техника решения обратной задачи, когда «дано» и «найти» меняют местами в попытках понять связь между искомыми и исходными данными.
Таким обратным ходом можно пользоваться тогда, когда удобнее задать вопрос о том, из чего можно получить искомые данные напрямую. Скажем, для получения площади треугольника достаточно знать или две стороны и угол между ними, или сторону и проведённую к ней высоту, или длины трёх его сторон. Конечно, этим список вариантов далеко не исчерпывается.
В доказательствах часто прибегают к технике сведения к абсурду или доказательства от противного, когда предполагается, что доказываемое утверждение неверно, и отталкивающееся от этого дальнейшее верное рассуждение приводит к противоречию, за счёт чего доказываемое утверждение попросту не может быть неверным, и остаётся только принять, что оно верно.
Если такого не приходит на ум, попробуйте упростить задачу. Такой приём очень помог, например, в задаче по теории чисел, предлагавшейся в 2023 году на ЕГЭ по профильной математике. В ней, среди всего прочего, требовалось выяснить, какие значения может принимать сумма произведений цифр соответствующих разрядов двух четырёхзначных чисел. Исследование этой задачи удавалось начать именно с её упрощения, а именно с постановки вопроса о том, какие значения может принимать такая сумма для двух двузначных чисел. Выяснив это и применив несколько дополнительных соображений при обобщении задачи, её удастся решить.
Словом, при составлении плана не ограничивайте себя только исходной задачей. Помните, что задача — это не высокая гранитная гора, а пластичная, податливая глина, которую можно делить на части, соединять обратно, рассматривать с разных сторон, и так до тех пор, покуда не отыщется хорошая мысль и, соответственно, не составится план.
Как решать задачу по плану
Итак, перед вами собранный план. Теперь нужно претворить его в жизнь, не наделав при этом ошибок. Здесь ведётся проверка того, насколько честны вы сами с собой.
Во-первых, решать задачу нужно по шагам. Ваши рассуждения не должны напоминать сочинение, организованное по абзацам. Напротив, это должен быть список шагов, каждый элемент которого состоит из описания проводимого шага — это может быть утверждение или вычисление — и обоснования правильности этого шага.
Во-вторых, каждый шаг нужно обосновать. Записав шаг, позаботьтесь о том, чтобы сразу же после него привести обоснование его правильности. Например, если шаг выглядит так:
∠ABC = ∠ACB ⇒ △ABC равнобедренный
То сразу после него должно идти такое обоснование:
(по признаку равнобедренного треугольника)
При обосновании шагов можно быть более дотошным и ссылаться на конкретное утверждение учебника или научной статьи; также можно ссылаться на задачи, уже решённые и проверенные ранее.
Таким образом, как вы сами, так и любой желающий сможет убедиться в правильности ваших выкладок, значительно сократив количество возможных ошибок в ходе решения. Да, поначалу это будет затратно по времени, однако спустя некоторое время упорной практики вы увидите, насколько быстрее и качественнее стали ваши рассуждения.
Если вы замечаете, что застряли на каком-то этапе решения, это говорит о том, что сделанный вами ранее план недостаточно подробен, и нужно вернуться назад, доработать план, а затем продолжить решение.
В конечном счёте, задача будет решена.
Что делать после решения задачи
Когда вы решили задачу, не спешите забывать о ней. Вместо этого постарайтесь извлечь из неё больше пользы. С этой целью смените роль ученика ролью учителя. Посмотрите на своё решение со стороны того, кто его проверяет.
Проверьте собственное решение сами. Убедитесь в правильности полученного ответа и, что ещё важнее, сделанных рассуждений.
Подумайте, можно ли решить задачу проще. К одной задаче можно подступиться по-разному, и до сих пор неизвестно, как выяснить, сколькими именно способами задача может быть решена; неизвестен даже способ определить, является ли найденное решение задачи самым простым. Поэтому здесь вас ждёт творчество в чистом виде. Вы можете и не найти более простого решения, но точно сможете более широко взглянуть на саму задачу.
Кроме этого полезно выделить приёмы, которые можно будет использовать в решении других задач. Попробуйте брать различные части решения и выделять их в независимые рассуждения. Возможно, рассуждая над задачей, вы случайно открыли новую теорему, но сами не подозреваете об этом. А занявшись целенаправленным поиском, точно заметите.
После всего упомянутого в завершение статьи остаётся только добавить ссылку на ту самую книгу Пойа, где вы сможете ознакомиться с его методом подробнее.
Спасибо за внимание!