На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороны AE и DE пересекают отрезок ВС в точках М и N, причём точка М - середина отрезка АЕ. Докажите, что S(ABСD)= S(ADE).
☝ ОБОЗНАЧЕНИЯ: 📐- треугольник; < - угол.
❗ Хитрость построения чертежа заключается в том, что точка N (симметрична точке М) - середина отрезка DE ❗
РЕШЕНИЕ:
1. S(ABCD)=S(AMND)+S(📐ABM)+S(📐NCD),
S(📐ADE)=S(AMND)+S(📐MEN).
2. Рассмотрим 📐MEN: EO - высота, которая является перпендикуляром к параллельным прямым BC и AD, следовательно: ЕО II AB и EO II CD.
3. Рассмотрим треугольники 📐АВМ и 📐МЕО.
- АМ=МЕ (дано),
- <АМВ=<ЕМО (как вертикальные),
- <ЕОМ=<ABM (90 градусов), следовательно,
📐АВМ = 📐МЕО (по гипотенузе и острому углу).
Так как равные многоугольники имеют равные площади, следовательно:
S(📐ABM)=S(📐MEO).
4. Рассмотрим треугольники 📐NEO и 📐NCD.
АВ=ЕО (пункт 3), АВ=CD (свойство прямоугольника), следовательно:
- ЕО=CD,
- <NEO=<CDN (как накрест лежащие: ЕО II CD и секущая ED),
- <EON=<NCD (90 градусов), следовательно,
📐NEO=📐NCD (по катету и прилежащему острому углу).
Так как равные многоугольники имеют равные площади, следовательно:
S(📐NEO)= S(📐NCD).
5. S(📐MEN)=S(📐MEO)+S(📐NEO)=S(📐ABM)+S(📐NCD).
S(📐ADE)=S(AMND)+S(📐MEN)=S(AMND)+S(📐ABM)+S(📐NCD),
S(ABCD)=S(AMND)+S(📐ABM)+S(📐NCD), следовательно,
S(📐ADE)=S(ABCD).
МЕДАЛИСТ
8 класс. Геометрия 📐📏📎📌📚 ОГЭ, ЕГЭ 👆 Контрольная работа❗ ✍ 😯 В классе 20 двоек🤦♂️🤦♀️🤷♂️🤷♀️
7 класс. Геометрия 📐📏📎📌📚 ВПР👆 №13, №14 ✍
7 класс. Геометрия 📐📏📎📌📚 №364, №365 ✍
7 класс. Геометрия 📐📏📎📌📚 Решаем задачи по чертежам ✍ №3, №9
7 класс. Геометрия 📐📏📎📌📚 Признаки и свойства прямоугольного📐 Найти расстояние от точки М до прямой АВ ✍
7 класс. Геометрия 📐📏📎📌📚 Признаки и свойства прямоугольного📐. Теорема Пифагора👳♂️ №144, 145, 146 ✍
7 класс. Геометрия 📐📏📎📌📚 Признаки и свойства прямоугольного📐. Медиана и <30градусов. Задачи по чертежам №3, 1-4✍
7 класс. Геометрия 📐📏📎📌📚 Признаки и свойства прямоугольного📐Задачи по чертежам №1,4,11,12✍
7 класс. Геометрия 📐📏📎📌📚 Решаем задачи по чертежам ✍ №3, №5, №6 👆 Найти угол CBA❓
7 класс. Геометрия 📐📏📎📌📚 Решаем задачи по чертежам ✍ №1, №2, №5, №6 👆 Найти углы 📐❓
7 класс. Геометрия 📐📏📎📌📚 Решаем задачи ✍ №6, №8
7 класс. Геометрия 📐📏📎📌📚 Решаем задачи по чертежам ✍ Дано: aIIb, секущая с. Найти углы❓
7 класс. Геометрия 📐📏📎📌📚 Решаем задачи ✍ Равенство треугольников. 📐=📐❓
7 класс. Геометрия 📐📏📎📌📚 Контрольная работа. Вар.1✍
7 класс. Геометрия 📐📏📎📌📚 Контрольная работа. Вар.2✍
7 класс. Геометрия📐📏📎📌📚 Решаем задачи по рис.266 и 267✍
7 класс. Геометрия 📐📏📎📌📚 Решаем задачи ✍ №194, стр. 57
Спасибо, что заглянули на наш канал! 👍 Ждем Вас снова! Лайк?