Георг Кантор (1845-1918) — немецкий математик, логик, теолог. Ученик Карла Вейерштрасса. Родился в Петербурге. Создал теорию бесконечных множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже XIX-XX вв.
Примеры множеств из окружающего мира
Например, множество дней недели включает в себя следующие элементы: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота и воскресенье. Множество месяцев состоит из таких элементов: январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь и декабрь.
Множество представляет собой математический объект, который состоит из других математических объектов, называемых элементами множества.
Элементы множества указываются в фигурных скобках. Например, цифры в десятичной системы счисления {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Способы задания множеств:
1. Описание множества
Примеры:
- множество значений из отрезка [1;10]
- множество всех чисел x, больших 2
2. Перечисление множества
Примеры:
- три начальные буквы русского алфавита
- натуральные числа
3. Графическое задание множеств.
Графическое задание множеств происходит с помощью диаграмм Эйлера-Венна
Чтобы указать, что некоторый элемент принадлежит множеству, используют значок ∈.
Примеры:
7 ∈ Z, читается "число 7 принадлежит множеству целый чисел"
-3 ∉ N, читается "число -3 не принадлежит множеству натуральных чисел"
Подмножество
Множество А является подмножеством В, если любой элемент А принадлежит В (на математическом языке А⊂В :⇔ ∀ x∈A ⇒ x∈B)
Примеры:
- А⊂В (множество А является подмножеством В).
- С⊄В (множество С не является подмножеством В)
Равные множества
Множество А равно множеству В по определению равносильно тому, что множество А является подмножеством В и множество В является подмножеством множества А (А=В :⇔ А⊂В ∧ В⊂А)
Пустое множество
Пустое множество – это множество которое не содержит элементов. Обозначается символом ∅.
Пустое множество является подмножеством любого множества и любое множество является подмножеством самого себя (∅⊂А ∧ А⊂А)
Объединение двух множеств
Объединением двух множеств А и В называется множество А⋃В, которое состоит из всех элементов, принадлежащих А и В вместе.
А – девочки класса, В – мальчики класса, А⋃В – весь класс.
Пересечение двух множеств
Пересечением двух множеств А и В называется множество А⋂В, которое состоит из всех элементов х, лежащих одновременно и в множестве А, и в множестве В.
А – равнобедренные треугольники, В – прямоугольные треугольники, А⋂В – прямоугольные равнобедренные треугольники.