Геометрия — наука с богатой историей, одна из наиболее древних математических наук. С целью кратко ознакомить интересующихся читателей с тем, как знания о геометрии росли и развивались с течением времени, я открываю цикл статей по истории геометрии.
Древние времена
Геометрия, по всему видимому, зародилась в Древнем Египте. Её появление обычно связывается с необходимостью проводить измерительные работы на местности: прокладывание дорог, измерение земельных участков, определение расстояния между точками.
Древнегреческий историк Геродот упоминал об этом:
«Сезострис, египетский царь, произвёл деление земель, отмерив каждому египтянину участок по жребию, и сообразно этим участкам с их владельцев ежегодно взимал налог.
Если Нил заливал чей-нибудь участок, то пострадавший обращался к царю и докладывал о случившемся. Тогда царь посылал землемеров (геометров): они измеряли, насколько уменьшился участок, и сообразно этому понижал налог. Вот откуда пришла геометрия и перешла из этой страны в Грецию».
Древние египтяне усердно развивали свою науку. Им, например, был известен приближённый способ вычисления площади круга. До наших дней дошло несколько древнеегипетских задачников по математике, содержащих среди всего прочего задачи по геометрии: это, например, папирус Ахмеса и Московский математический папирус.
Последний свидетельствует о том, что древним египтянам был известен способ вычислять не только площади, но и объёмы цилиндра и некоторых многогранников, в частности — усечённой пирамиды, о чём свидетельствует четырнадцатая задача Московского математического папируса:
Скажут тебе: вот усечённая пирамида высотой 6, стороной внизу 4, а вверху — 2. Исчисли квадрат 4. Это будет 16. Удвой 4. Это будет 8. Исчисли квадрат 2. Это будет 4. Сложи вместе эти 16, 8 и 4. Это будет 28. Исчисли 1/3 от 6. Это будет 2. Исчисли 28 дважды. Это будет 56. Смотри: это 56. Ты нашёл правильно.
Несомненно, возведение пирамид стало возможным также благодаря исследованиям в области геометрии. Самая древняя пирамида — ступенчатая пирамида в Саккаре — была возведена зодчим Имхотепом при фараоне Джосере около 2800 года до н.э.
Конечно, о геометрии было известно не только египтянам: она независимо зарождалась и исследовалась и в других древних цивилизациях. Так, например, в Вавилоне о теореме Пифагора знали задолго до рождения самого Пифагора и с поразительной точностью определяли число пи — отношение длины окружности к её диаметру. Им удалось получить значение 3.13, в то время как известное сейчас более точное значение этой константы, округлённое до сотых, равно 3.14.
Судя по узорам и архитектуре, индейцы майя умели работать с симметрией — если уж не доказательно, то, по меньшей мере, интуитивно — а также строить отрезки длин, равных квадратным корням из целых чисел.
Известно им было и золотое сечение. Намёк на способ построения золотого сечения встречается в памятнике индейской литературы, книге Пополь-Вух:
...о том, как совершилось возникновение всего: неба и земли; как были образованы и обозначены четыре её угла и четыре главные точки; как она была расчленена и как было разделено небо; и была доставлена верёвка для измерения и натянута в небесах и на земле, на четырех углах, на четырёх главных точках...
В более близкой к оригиналу интерпретации этот же отрывок звучит так: «...сотворили четыре угла и четыре стороны; поделив вервь пополам, простёрли её в небеса и вновь опустили на землю».
Это может объяснять, каким образом индейцы, возможно, выполняли построение золотого прямоугольника.
Конечно, всё это лишь малая часть примеров, свидетельствующих об уровне развития геометрии, да и математики в целом, в древности. Читатель, желающий узнать подробнее об этой части истории математики, может взять на заметку книгу «Пробуждающаяся наука: Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции» Б.Л. ван дер Вардена. Знающим английский язык могу также уверенно рекомендовать к ознакомлению довольно подробную книгу "An Introduction to the History of Mathematics" Говарда Ивса.
Геометрия в Древней Греции
Как о математике древнего мира в целом, так и о геометрии древнего мира в частности можно сказать одно: все полученные результаты так или иначе опирались либо на интуицию, либо на практический опыт. Конечно, ни о каком системном изучении таких знаний не могло быть и речи: они были разобщены и несвязны.
Толчок к формированию геометрии как науки случился именно с Древней Греции. Одним из первых древнегреческих математиков принято считать Фалéса Милетского. Ряд историков приписывает ему многочисленные путешествия в Египет и утверждает, что именно Фалес привёз египетские знания о математике в Грецию, продолжая их развитие со своими соотечественниками. Его именем названо несколько важных теорем, включённых в современный курс школьной геометрии, и доказанных им.
Фалес стал одним из вдохновителей другого известного деятеля, Пифагóра Самосского. Согласно легендам, до основания своей школы Пифагор также бывал в Египте, и сделал ряд собственных наблюдений. После этого он вернулся в родной Самос, однако спустя несколько лет после начала правления Поликрата он покинул родные края и основал философскую школу, последователи которой называли себя пифагорейцами.
Мистический ореол вокруг жизни и деятельности Пифагора настолько велик, что заслуживает отдельного цикла размашистых статей. Пифагору приписывают присвоение названия науке философии, а также одну из первых в математике практик доказательного рассуждения.
Теорема о прямоугольном треугольнике, названная в честь Пифагора, как уже отмечалось ранее, была известна и до него, но в общем виде впервые была доказана именно им. Стоит также отметить, что Пифагор доказывал теорему не о сторонах прямоугольного треугольника, а о площадях построенных на этих сторонах квадратов (впрочем, здесь обе формулировки равносильны):
Квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.
Согласно легенде, известной из трудов Диогена Лаэртского, Пифагор, открыв эту теорему, был настолько восхищён своим открытием, что принёс в жертву богам сотню быков.
Отдельно стоит упомянуть древнегреческого философа Аристокла, более известного под псевдонимом Платóн, который, хоть и не был в своей основе математиком, но сумел внести важный вклад в геометрию. Так, правильные многогранники: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр, известны под именем платоновых тел.
Каждому из платоновых тел была поставлена в соответствие определённая стихия: тетраэдру — огонь, кубу (гексаэдру) — земля, октаэдру — воздух, додекаэдру — эфир, икосаэдру — вода. Сделано это было самим Платоном, стремившимся описать с их помощью устройство всего мироздания.
Поэтому, да и не только, занятия геометрией в Древней Греции получили яркую мистическую окраску: греки относились к изображению геометрических фигур как к чему-то священному. Вероятно, среди них было живо поверье, что занятия геометрией приоткрывают завесу тайн бытия.
Считая совершенными плоскими фигурами только окружность и прямую линию, Платон также был одним из первых, кто призвал использовать в геометрических построениях только циркуль и линейку. Впрочем, первенство Платона в этом оспаривается, поскольку такая же мысль приходила Энопиду Хиосскому. Возможно, в этой мысли вовсе нет мистики: циркуль и линейка были выбраны как самые простые и лёгкие в изготовлении инструменты.
Эта мысль позже родила множество задач на построение, среди которых присутствуют задачи об удвоении куба и трисекции угла. Нерешаемость последних только циркулем и линейкой была доказана лишь много веков спустя.
Значительный шаг вперёд, подтолкнувший к дальнейшему развитию не только геометрию, но и математику в целом, был сделан Евкли́дом Александрийским.
Домыслов и мистики, связанных с жизнью Евклида, ничуть не меньше, чем в отношении Пифагора, поэтому сложно судить о чём-либо, с ним связанном, достоверно. Главная его заслуга перед математикой — объединение всех основных закономерностей, открытых в геометрии и в арифметике, в связную систему.
В тринадцатитомном сочинении Евклида под названием «Начала» предлагается принять основополагающие утверждения двух видов: аксиомы — то, что принимается неопровержимой истиной в рамках его системы, и постулаты — то, что принимается истинным до тех пор, пока не будет найдено опровержение.
Далее из этих утверждений выводятся все остальные геометрические утверждения. Евклид называет их предложениями, а нынешние математики — теоремами. Для большей краткости доказательств он использовал не только аксиомы и постулаты, но и доказанные ранее предложения.
Примечательно, что при систематизации геометрии Евклид многократно неявно использовал движение плоскости — к примеру, доказывая равенство двух треугольников — но избегал давать аксиомы движения. Скорее всего, отделяя физику от математики, он не хотел смешивать «высокую» геометрию с «низкой» механикой.
Стоит упомянуть и другого известного деятеля этого периода — Архимéда Сиракузского. Он родился в Сиракузах — греческой колонии на Сицилии — в довольно небогатой семье. По мнению историка античной науки С. Я. Лурье, отец Архимеда не смог обеспечить ему всестороннего образования, но хорошо обучил его математике.
Родство с Гиероном II, впоследствии ставшим покровителем Архимеда и царём Сиракуз, позволило Архимеду посетить главный научный центр того времени — Александрийскую библиотеку. По всему видимому, именно там Архимед углубил свои знания в различных областях и познакомился со своими учёными-современниками.
В то время как Архимеда интересовала чистая наука, Гиерон старался извлечь из этого интереса практическую пользу. Именно он подтолкнул Архимеда на создание механизмов, впоследствии принесших последнему мировую известность.
Среди прочих заслуг перед геометрией того времени, нужно отметить, что Архимед смог уточнить число пи, вычислив значение 22/7, получившее название архимедова числа, и также вывести широко известную в современности формулу площади круга.
Согласно Цицерону, сам Архимед называл своим лучшим достижением выведенное им отношение объёмов конуса, шара и цилиндра, в который они вписаны. Ему удалось выяснить, что эти объёмы находятся в отношении 1:2:3. В частности, утверждается, что по этой причине Архимед просил высечь на своём надгробии шар, вписанный в цилиндр.
Помимо геометрии Архимед также внёс вклад в механику, оптику, гидростатику, астрономию и математический анализ — в частности, обосновал необходимость добавить аксиому Архимеда, гласящую, что любую положительную величину возможно сложить саму с собой столько раз, что полученная сумма превысит любую другую положительную величину. Вопреки тому, что эта аксиома называется именем Архимеда, её задолго до него сформулировал Евдокс Книдский.
К Архимеду восходит одно из первых упоминаний слова «лемма» как доказанного утверждения, полезного только для доказательства других утверждений. Арабский учёный Сабит ибн Курра приписывает Архимеду авторство «Книги лемм», содержащей 15 утверждений, связанных с окружностью и кругом.
Историки выделяют трёх «великих геометров античности»: Евклида, Архимеда и Аполлóния Пергского. Сведения об его жизни крайне скудны; точно можно утверждать лишь о некоторых связанных с ней фактах.
Аполлоний родился в памфильском городе Перге. Ещё будучи юношей, он примкнул к математической школе Евклида в Александрии и со временем прослыл уважаемым геометром и астрономом. Известно о его преподавательской деятельности в Александрии.
На закате своей жизни Аполлоний на какое-то время вернулся на родину, где открылись подобные александрийским учебный центр и библиотека. В своих работах он утверждал о наличии у него сына.
Труд Аполлония, принесший ему мировую известность — монография «Конические сечения» в восьми книгах, где обстоятельно рассматривались кривые второго порядка: эллипс, гипербола и парабола.
Примечательно, что до Аполлония их называли просто «сечениями конуса». Помимо кривых второго порядка Аполлоний ввёл и другие математические понятия, латинизации которых до сих пор используются в науке: абсцисса, ордината, аппликата, асимптота.
Читателям, желающим узнать больше об Архимеде, предлагаю к ознакомлению книгу С.Я. Лурье «Архимед». О Фалесе может рассказать довольно свежая и не переведённая на момент написания данной статьи книга Хантера Салливана "Thales of Miletus for Beginners: Understanding the Father of Western Philosophy". Историю Пифагора подробно раскрывает в своей книге «Пифагор и его школа» Л.Я. Жмудь.