1. Запишите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в десятичной записи которого присутствуют только цифры 7 и 0.
Ответ: 77777777700
1.2 Запишите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в десятичной записи которого присутствуют только цифры 2 и 0.
Ответ: 2222222220
1.3 Запишите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в десятичной записи которого присутствуют только цифры 5 и 0.
Ответ: 55555555500
2. Имеется бумажный прямоугольник. Если его разрезать восемью параллельными разрезами на 9 одинаковых маленьких прямоугольников, то периметр каждого маленького прямоугольника будет в 3 раза меньше, чем периметр исходного прямоугольника. Найдите отношение большей стороны к меньшей стороне исходного прямоугольника.
Ответ: 3
2.2 Имеется бумажный прямоугольник. Если его разрезать восемью параллельными разрезами на 9 одинаковых маленьких прямоугольников, то периметр каждого маленького прямоугольника будет в 4 раза меньше, чем периметр исходного прямоугольника. Найдите отношение большей стороны к меньшей стороне исходного прямоугольника.
Ответ: 5
2.3 Имеется бумажный прямоугольник. Если его разрезать восемью параллельными разрезами на 11 одинаковых маленьких прямоугольников, то периметр каждого маленького прямоугольника будет в 3 раза меньше, чем периметр исходного прямоугольника. Найдите отношение большей стороны к меньшей стороне исходного прямоугольника.
Ответ: 2,75
3. На одном чертеже изображены графики четырёх функций вида y=x2+2bx+2c. Сколько точек пересечения этих графиков может быть? Выберите все возможные варианты:
Ответ: 0, 3, 4, 5, 6
4. Сколько существует таких троек натуральных чисел (A, B, N), что A+B=38, а B больше A ровно на N процентов?
Ответ: 6
4.2 Сколько существует таких троек натуральных чисел (A, B, N), что A+B=46, а B больше A ровно на N процентов?
Ответ: 7
4. 3 Сколько существует таких троек натуральных чисел (A, B, N), что A+B=62, а B больше A ровно на N процентов?
Ответ: 8
5. За круглым столом собрались 17 человек, каждый из них либо лжец, который всегда врёт, либо рыцарь, который всегда говорит правду. Каждый из сидящих за столом сделал заявление: «Среди четырёх ближайших ко мне в круге людей (2 соседа справа и 2 соседа слева) есть хотя бы один лжец!» Сколько лжецов могло быть в круге? Укажите все возможные варианты, записывая каждый в отдельное поле.
6. Имеется восемь одинаковых игральных кубиков, на гранях которых написаны натуральные числа от 1 до 6. Кубики таковы, что на любой паре противоположных граней написаны числа, отличающиеся на 1. Из этих восьми кубиков собрали куб размером 2×2×2 так, что сумма чисел на любых двух прислонённых друг к другу гранях оказалась равна 7. При этом сумма чисел на верхней грани этого большого куба равна 11. Найдите сумму чисел на нижней его грани.
Задание 7. Дан треугольник ABC с углом B, равным 60∘. В точках A и C провели две касательные к описанной окружности ABC, пересекающиеся в точке P. Перпендикуляр к BC, восстановленный в точке C, пересекает прямую AB в точке Q. Найдите ∠CQP, если ∠BAC=40∘.
Задание 8. Назовём натуральное число интересным, если в его двоичной записи не более 2 единиц. Например, числа 4=1002 и 40=1010002 интересные, а число 14=11102 интересным не является. Сколько существует интересных чисел, меньших 8000?