Обычно школьники говорят, что параллельные прямые - это прямые, которые не пересекаются.
И от части это верно, если мы говорим о 7-9 классах школьной программы по геометрии, т.к. там изучают планиметрию - геометрию в одной плоскости и если на листе бумаги мы изобразим 2 прямые, которые не пересекаются, то они и правда параллельны.
Не смотря на это в учебниках такого определения допустить нельзя и про плоскость обязательно нужно сказать, ниже примеры определений из разных учебников:
Интереснее всего к параллельным прямым "заходит" Волчкевич. Изначально обсуждаем как же на плоскости (на одной!) можно расположить две прямые? Можно их пересечь, а можно не пересечь, так вот когда прямые не пересекутся, общих точек не будет и мы назовём их параллельными прямыми:
Так почему же нельзя называть параллельными прямыми - прямые, которые просто не пересекаются?
Да потому, что в пространстве есть множество прямых, которые не пересекаются, но в то же время они и не параллельны - это прямые скрещивающиеся, на мой взгляд очень наглядный пример с дорогами на разных уровнях (мостами, эстакадами).
Т.е. любой мост над другой дорогой не пересекается с дорогой под ним и в тоже время не параллелен ей.
Для жителей столице самая известная кольцевая автомобильная дорога (МКАД):
Получаем, что МКАД (на рисунке изображён зелёным цветом) идёт над дорогой, расположенной под ним (на рисунке изображена белым). Эти две дороги скрещивающиеся (конечно, условно именно в данном месте, дороги не совсем прямые, а мы говорим именно о прямых).
Получается, что в пространстве есть 3 варианта взаимного расположения прямых:
1. Пересекающиеся - имеющие общую точку.
2. Параллельные - лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.
3. Скрещивающиеся - не лежащие в одной плоскости.
И мы не сказали, как же обозначаются пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Обозначения на рисунке ниже:
А как же в задачах можно доказать, что прямые и правда скрещивающиеся?
Для этого приведём признак скрещивающихся прямых: если одна из прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то прямые скрещивающиеся.
Тот же признак в "буквах и символах":
Рассмотрим доказательство на примере:
Давайте идти по признаку:
1. Заметим, что прямая АС лежит в нижней плоскости (ABCD)
2. B1D пересекает эту плоскость в точке D
3. Точка D не лежит на прямой АС
Из этого всего следует, что прямые АС и B1D скрещивающиеся! Ч.т.д.
Более подробно скрещивающиеся прямые рассмотрены в моих видео здесь: