Среди множества апорий Зенона наиболее известной является «Ахиллес и черепаха». Чтобы найти решение этого парадокса, нужно найти слабые места в его формулировке и изящно опровергнуть его, оставаясь в рамках самой задачи. Если выйти за эти рамки, можно найти множество других решений, но все они не будут иметь отношения к решению парадокса, описанного в этой апории.
Вот как звучит эта апория:
«Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, пока Ахиллес преодолеет это расстояние, черепаха успеет проползти сто шагов в том же направлении. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять, и так далее. Этот процесс будет продолжаться бесконечно, и Ахиллес никогда не догонит черепаху».
Этот удивительный парадокс построен на сочетании строгой логики с одной стороны и недосказанности — с другой. В этой апории не упоминается, 1) за какое время, например, Ахиллес преодолел расстояние в тысячу шагов. 2) Также неясно, преследовал ли Ахиллес цель догнать черепаху или он просто бежал. 3) Кроме того, в апории не уточняется, были ли бег Ахиллеса и движение черепахи равномерными. Именно эти недосказанности и заставляют тех, кто хочет опровергнуть парадокс, додумывать за него. Однако парадокс сформулирован так, что к его логике нельзя придраться. Но из-за недосказанностях в нём опровергнуть его можно, только задав уточняющий вопрос.
Теперь давайте подробнее рассмотрим сам парадокс. Анализируя его, можно прийти к выводу, что время способно замедляться бесконечно. Хотя в этой апории время упоминается лишь для того, чтобы продемонстрировать одновременность действий Ахиллеса и черепахи, а основной акцент делается на сокращающихся отрезках пути, её суть становится ясной из контекста.
В формулировке этого парадокса не уточняется, сколько времени Ахиллес тратит на преодоление постепенно сокращающихся расстояний. В этом и заключается его суть. Создаётся ложное впечатление, что первые 1000 шагов Ахиллес преодолел, например, за 180 секунд, затем 100 шагов — тоже за 180 секунд, а после 10 шагов — за то же время, и так далее. В результате можно подумать, что Ахиллес замедляется, а значит, согласно формулировке, черепаха замедлялась аналогичным образом.
В итоге получается, что человек никогда не сможет обогнать черепаху, поскольку их общее движение, а точнее, время, как будто замедляется. Это как если бы мы сняли на видео сюжет, как человек догоняет черепаху, со скоростью 3,6 миллионов кадров в секунду, а затем показали бы этот ролик в режиме замедления видеопроектора.
Апория сформулирована таким образом, чтобы запутать читателя. В ней намеренно дробятся пути Ахиллеса и черепахи на бесконечно сокращающиеся фрагменты, создавая ложное представление о том, что пространство ограничено. Создаётся впечатление, что Ахиллес не может преодолеть некую точку в пространстве, чтобы догнать черепаху, поскольку его действия ограничены бесконечно сокращающимися расстояниями до неё. Анализ этой апории показывает, что под бесконечно сокращающимися отрезками пути движения Ахиллеса скрывается бесконечно замедляющееся время.
Однако, если воспроизвести этот опыт на практике, мы увидим, что Ахиллес обгонит черепаху уже на 1112 шаге от его старта, или на 112 шаге от старта черепахи.
Не может быть, чтобы путь вычисляли по функции без учёта времени, которое нужно для его преодоления.
Например, если Ахиллес пробегает 1000 метров за 180 секунд, то на сто метров у него уходит 18 секунд, на десять метров — 1,8 секунды, а на один метр — 0,18 секунды. За 199,98 секунд он пробежал ровно 1111 метров — ни миллиметром больше. Если предположить, что он будет бежать все 200 секунд, то это составит 1111,1111 метров — именно на этом расстоянии Ахиллес догонит черепаху. Неужели он должен остановиться на 199,98 секунде?
Опровержение этой апории заключается в уточняющем вопросе, который возникает из условий задачи. В апории говорится, что пока Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха проползёт сто шагов в том же направлении. Затем он пробежит ещё сто шагов, потом десять и, наконец, один. В результате этих четырёх этапов он пробежит тысячу сто одиннадцать шагов. При этом утверждается, что Ахиллес никогда не догонит черепаху. Это значит, что он не догонит её ни на тысяча сто двенадцатом, ни даже на тысяча двухсотом шаге. Удивительно!
Возникает вопрос, который ставит под сомнение саму суть этой апории: «Какое расстояние проползёт черепаха в том же направлении за то время, пока Ахиллес, согласно условиям апории, пробежит тысячу сто двенадцать шагов?»
В этой апории не указано, что Ахиллес должен сделать именно тысячу сто одиннадцать шагов и ни одним больше. Давайте предположим, что он сделал тысячу сто двенадцать шагов. Где же в этот момент будет находиться черепаха?
Любой ответ на этот вопрос опровергает парадокс.
Есть ещё один способ разобраться с этой апорией. Для этого нужно ввести в условие третий объект. Например, можно представить, что в 1200 шагах от Ахиллеса стоит дерево, к которому он начинает свой бег. Между ними, в двухстах метрах от дерева, находится черепаха, которая также направляется к этому дереву. Все остальные условия остаются прежними.
Из условий апории известно, что скорость Ахиллеса в десять раз превышает скорость черепахи. Значит, он будет приближаться к дереву в десять раз быстрее, чем она. И когда черепаха проползёт свои 120 шагов, Ахиллес уже окажется рядом с деревом, опередив её на 80 шагов.
Если в условиях апории фигурируют только два объекта — Ахиллес и черепаха, то может показаться, что Ахиллес не сможет догнать черепаху. Однако, если добавить ещё один объект — дерево, то ситуация меняется: Ахиллес легко догоняет и даже перегоняет черепаху.
Ахиллес, как известно, бежит в десять раз быстрее, чем черепаха. Поэтому, пока Ахиллес преодолеет 1100 метров (1000 + 100), черепаха проползёт только 110 метров (100 + 10). Верно? Если Ахиллес пробежит ещё 110 метров, черепаха проползёт лишь 11. Это общее условие.
Предположим, что на старте между Ахиллесом и черепахой было 1000 метров (шагов). Значит, Ахиллес уже опередил черепаху.
Таким образом, утверждение Зенона о том, что Ахиллес не сможет догнать черепаху, является ошибочным.