Анализ задачи и решение
Задача: Дано: sin(2α) - cos(2α) = 0,6. Найти: sin(4α).
Решение:
1. Использование формулы двойного угла:
- sin(2α) = 2sin(α)cos(α)
- cos(2α) = cos²(α) - sin²(α)
Подставим эти формулы в исходное уравнение: 2sin(α)cos(α) - (cos²(α) - sin²(α)) = 0,6
2. Преобразование уравнения: Перегруппируем члены: sin²(α) + 2sin(α)cos(α) - cos²(α) = 0,6
Заметим, что левая часть уравнения похожа на разность квадратов, но с дополнительным членом 2sin(α)cos(α).
3. Введение новой переменной: Для упрощения введем новую переменную t = sin(α) - cos(α). Тогда: t² = (sin(α) - cos(α))² = sin²(α) - 2sin(α)cos(α) + cos²(α)
4. Составление системы уравнений: Теперь у нас есть система двух уравнений:
- t² = sin²(α) - 2sin(α)cos(α) + cos²(α)
- sin²(α) + 2sin(α)cos(α) - cos²(α) = 0,6
Вычтем второе уравнение из первого: t² - (sin²(α) + 2sin(α)cos(α) - cos²(α)) = -0,6 2t² = 1,6 t² = 0,8 t = ±√0,8
5. Возврат к исходной переменной: Поскольку t = sin(α) - cos(α), мы можем выразить sin(α) через cos(α) или наоборот. Однако, для нахождения sin(4α) нам понадобится выразить обе тригонометрические функции через одну.