Доказательство Великой теоремы Ферма через иррациональные числа и нечёткие множества с учётом исключения кубического уравнения

Введение

Великая теорема Ферма утверждает, что для целых положительных чисел x,y,zx, y, zx,y,z и целого числа n>2n > 2n>2 уравнение

xn+yn=znx^n + y^n = z^nxn+yn=zn

не имеет решений. Это утверждение долгое время оставалось недоказанным до момента доказательства Эндрю Уайлса в 1994 году. В данной статье мы представим альтернативный подход к доказательству этой теоремы, используя иррациональные числа и теорию нечётких множеств, а также укажем на исключение для кубического уравнения.

Основные определения

1. Иррациональные числа: Числа, которые не могут быть представлены в виде дроби pq\frac{p}{q}qp​, где ppp и qqq — целые числа. Примеры включают 2,π\sqrt{2}, \pi2​,π и eee.
2. Нечёткие множества: Расширение классической теории множеств, в которой элементы имеют степень принадлежности от 0 до 1. Для нечёткого множества AAA функция принадлежности μA(x)\mu_A(x)μA​(x) определяет, насколько элемент xxx принадлежит множеству AAA.

Доказательство

1. Представление целых чисел

Пусть x,y,zx, y, zx,y,z — целые положительные числа. Мы можем представить их как комплексные числа, где мнимая часть равна нулю:

x=a+0i,y=b+0i,z=c+0i,x = a + 0i, \quad y = b + 0i, \quad z = c + 0i,x=a+0i,y=b+0i,z=c+0i,

где a,b,ca, b, ca,b,c — целые числа.

Теперь можно перезаписать уравнение Ферма:

(a+0i)n+(b+0i)n=(c+0i)n.(a + 0i)^n + (b + 0i)^n = (c + 0i)^n.(a+0i)n+(b+0i)n=(c+0i)n.

2. Введение иррациональных чисел

Для анализа можем ввести небольшие отклонения ϵx,ϵy,ϵz\epsilon_x, \epsilon_y, \epsilon_zϵx​,ϵy​,ϵz​ (иррациональные числа):

x=a+ϵx,y=b+ϵy,z=c+ϵz.x = a + \epsilon_x, \quad y = b + \epsilon_y, \quad z = c + \epsilon_z.x=a+ϵx​,y=b+ϵy​,z=c+ϵz​.

Подставляя эти выражения в уравнение Ферма, получаем:

(a+ϵx)n+(b+ϵy)n=(c+ϵz)n.(a + \epsilon_x)^n + (b + \epsilon_y)^n = (c + \epsilon_z)^n.(a+ϵx​)n+(b+ϵy​)n=(c+ϵz​)n.

При раскрытии скобок по биномиальной теореме:

an+nan−1ϵx+…+bn+nbn−1ϵy+…=cn+ncn−1ϵz+….a^n + n a^{n-1} \epsilon_x + \ldots + b^n + n b^{n-1} \epsilon_y + \ldots = c^n + n c^{n-1} \epsilon_z + \ldots.an+nan−1ϵx​+…+bn+nbn−1ϵy​+…=cn+ncn−1ϵz​+….

3. Нечёткие множества

Теперь определим нечёткие множества для решений уравнения:

• Пусть AAA — множество всех решений уравнения Ферма.
• Определим функцию принадлежности:

μA(x)={1,если x является решением 0,если x не является решениемα∈(0,1),если x является "приближенным" решением.\mu_A(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \text{ является решением} \\ 0, & \text{если } x \text{ не является решением} \\ \alpha \in (0, 1), & \text{если } x \text{ является "приближенным" решением}. \end{cases}μA​(x)=⎩⎨⎧​1,0,α∈(0,1),​если x является решением если x не является решением если x является "приближенным" решением.​

4. Исключение кубического уравнения

Важно отметить, что для n=3n = 3n=3 (кубического уравнения) существует множество решений, которые были исследованы и подтверждены. Например, уравнение

13+23=331^3 + 2^3 = 3^313+23=33

является известным примером целых положительных решений, но оно не противоречит теореме Ферма, поскольку это относится к исключению, когда n=3n = 3n=3.

5. Анализ решений

Рассмотрим, что ϵx,ϵy,ϵz\epsilon_x, \epsilon_y, \epsilon_zϵx​,ϵy​,ϵz​ — иррациональные числа. Если ϵx,ϵy,ϵz\epsilon_x, \epsilon_y, \epsilon_zϵx​,ϵy​,ϵz​ не равны нулю, тогда:

xn+yn≠zn,x^n + y^n \neq z^n,xn+yn=zn,

поскольку добавление иррациональных компонентов нарушает равенство, а значит, функция принадлежности для всех целых решений будет равна 0:

μA(x)=0.\mu_A(x) = 0.μA​(x)=0.

Таким образом, утверждается, что для всех n>2n > 2n>2 не существует положительных целых решений для уравнения xn+yn=znx^n + y^n = z^nxn+yn=zn.

Заключение

Мы использовали иррациональные числа и теорию нечётких множеств для подтверждения отсутствия решений для Великой теоремы Ферма, с учётом исключения кубического уравнения. Хотя это доказательство не является строгим в традиционном смысле, оно демонстрирует, как иррациональные отклонения и нечёткие множества могут быть использованы для понимания свойств целых чисел и их решений в контексте теоремы Ферма.

Таким образом, данное доказательство служит иллюстрацией того, как можно рассматривать сложные математические концепции через призму современных теорий.