Попробуйте решить простой пример: √9. Любой, кто хоть чуть-чуть слушал учителя в школе знает, что ответ - 3. Пример чуть посложнее: √255. Тут уже правильно ответивших будет чуть меньше: правильный ответ - 15. И попробуйте решить последний пример: √(-1). Скорее всего вы сказали, что "корень из отрицательного числа не извлекается" и думаете, что за легкотня. А вот тут и вся соль. Оказывается, с XIV века математики умеют находить значение корня из минус единицы. Попробуем разобраться, что за чертовщина тут творится.
Небольшой дисклеймер: Понятия "мнимая единица" и "комплексное число" - не являются частью школьной программы, что является запретом использованием их на экзаменах (ОГЭ/ЕГЭ). Другими словами: если при решении квадратного уравнения на экзамене, вы получили отрицательный дискриминант и напишите, что корни есть, просто они в комплексной плоскости, вы скорее всего получите 0 баллов за данную задачу и, скорее всего, апелляция тут не поможет.
Историческая справка
До XIV века математики считали, что √(-1) - бред какой-то. Но в 1572 году Рафаэль Бомбелли при решении кубического уравнения x³ = 15x + 4, которое помимо вещественного корня x = 4 имеет корни и в комплексных числах впервые описал применение этих самых комплексных чисел, он же дал и правила для их сложения, вычитания, умножения, деления.
С подачи Декарта числа вида a+b×√(-1) стали называть мнимыми, ведь тот отрицал их существование. Для многих других учёных XVII века природа и право на существование "мнимых" чисел тоже представлялись весьма сомнительными. Лейбниц, например, в 1702 году писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы»
Символ i, который называется "мнимая единица" и равен √(-1), ввёл Эйлер, который взял первую букву слова "imaginarius" (лат. "мнимый"). Также в 1751 году Леонардо Эйлер предположил, что любой многочлен степени больше нуля имеет хотя бы один корень в комплексных числах и оказался чертовски прав, в дальнейшем это утверждение получит имя "Основная Теорема Алгебры". Первое строгое доказательство этого факта принадлежит Карлу Гауссу, и благодаря Гауссу в обиход вошло словосочетание "комплексное число".
Что такое "комплексное число"?
Желание вводить комплексные числа появилось как раз ради "легализации" операции извлечения корней из отрицательных чисел. Если подумать, то тогда, тот же самый отрицательный дискриминант перестаёт быть проблемой.
Уже с существующими числами понять чему конкретно равен корень из -1 - нельзя. Значит нужно придумать какое-то новое число.
Этим новым числом является "мнимая единица", которая обозначается с помощью латинской i. Мнимая единица - корень уравнения x² + 1 = 0.
У уравнения x² + 1 = 0 два корня: i и -i.
Комплексными числами называют числа вида a+bi, где a,b - действительные числа. Как видно из определения любое комплексное число z = a+bi состоит из двух частей:
- Величина a называется вещественной частью числа z, и согласно международным стандартам обозначается как Re(z) или Re z. Реже можно увидеть обозначение с помощью готического письма: ℜ(z). Если a = 0 число z называется чисто мнимым число или просто мнимым числом.
- Величина b называется мнимой частью числа z, и согласно международным стандартам обозначается как Im(z) или Im z. Реже можно увидеть обозначение с помощью готического символа: 𝔍(z).
Действительные числа - это те же комплексные число, только с нулевой мнимой частью. Поэтому чаще всего, если вам говорят про "комплексное число", то имеют ввиду, что мнимая часть числа не равна нулю
Для комплексного числа z = a+bi противоположным числом будет -z = -a-bi. Например, для число 3-9i противоположным будет -3+9i.
Обозначается множество комплексных чисел с помощью буквы ℂ
Небольшое замечание: после введения комплексных чисел всё также выражение √(-1) - является некорректным. И ставить прямое равно между √(-1) и i - тоже некорректно, ибо определяется мнимая единица, не как корень из минус единицы, а корень уравнения x² + 1 = 0. Иначе можно вытворять такие выкрутасы: 1 =√1 = √((-1)×(-1)) = √(-1) × √(-1) = i² = -1
Операции с комплексными числами
Для комплексных чисел определенны все четыре стандартные операции: сложение, вычитание, умножение, деление.
Сложение и вычитание
- (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i. Несложно видеть, что для сложения комплексных чисел, также как и для действительных, присущи коммутативность("переместительный закон") и ассоциативность("сочетательный закон").
- (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
Также как и с действительными числами, если мы сложим комплексное число z с нулём, то получим число z, то есть z + 0 = z. И также как и с нулём сложение двух противоположных комплексных чисел z и -z даёт 0.
Умножение и возведение в степень
(a+bi) × (c+di) = a×c + bi×di + a×di + c×bi = (ac-bd) + (ad+bc)i
Несложно заметить(если хотите можете строго доказать), что умножение комплексных чисел обладает коммутативностью, ассоциативностью и дистрибутивностью("распределительный закон").
Также как и с действительными числами: умножение комплексного числа z на ноль даёт ноль, то есть z × 0 =0; умножение комплексного числа z на единицу даёт z, то есть z × 1 = z.
Разберемся с возведением мнимой единицы в степень. Понятно, что
- i¹ = i;
- i² = -1;
- i³ = i × i² = i × (-1) = -i;
- i⁴ = i² × i² = (-1) × (-1) = 1.
Дальше по индукции можно доказать, что iⁿ = i⁽ⁿ ᵐᵒᵈ ⁴⁾, база у нас уже есть.
Деление
К любому комплексному числу z = a+bi можно найти обратное число 1/z = 1/(a+bi). Достаточно домножить и числитель и знаменатель на сопряженное число a-bi: 1/z = 1/(a+bi) = (a-bi)/(a²+b²) = a/(a²+b²) - bi/(a²+b²)
Несложно и поделить одно комплексное число на другое. Достаточно домножить числитель и знаменатель на сопряженное к числу в знаменателе.
Сравнение комплексных чисел
Комплексные числа сравнивать нельзя! То есть между двумя комплексными числами нельзя поставить знак больше или меньше.
Геометрическое представление комплексных чисел и модуль комплексного числа
Нетрудно видеть, что комплексное число зависит от двух параметров - мнимой и действительной части. То есть любое комплексное число можно представить как точку на координатной плоскости: пусть по оси OX будем откладывать действительную часть числа, а по оси OY - мнимую.
Теперь благодаря представлению комплексного числа мы можем и ввести понятие модуля для комплексного числа. Если вспомнить определение модуля, для действительных чисел, то модуль - это расстояние точки от нуля на числовой прямой.
То есть модуль числа z = a+bi это расстояние между точками (a; b) и (0; 0). С помощью теоремы Пифагора это расстояние можно запросто найти и получить: |z| = |a+bi| = √(a²+b²)
Что нового привносят комплексные числа?
Сразу бросается тот факт, что у квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом появляются корни. Например, в школьном курсе мы считали, что уравнение x²-2x+5=0 не имеет корней, так как D=-16 < 0. Но после введение комплексных чисел мы получаем корни: x = 1 ± 2i
Также, например и уравнения x³=-1 получаются новые корни: -1/2 ± (i√3)/2 - тоже в кубе даёт -1.
Ломают ли комплексные числа математику?
Сначала может показаться, что всё это полный бред. Просто кто-то опять чего-то нанюхался наелся и придумал вот это всё. Вообще, если вспомнить историю, то люди очень долго не верили в существование нуля или отрицательных чисел. А что говорить про иррациональные числа, пифагорейцы в своё время утопили своего братка за открытие иррациональных чисел. Если корень из двух можно ещё как-то оправдать - диагональ квадрата со стороной 1, равна корню из двойки, но диагональ же существует! То вот мнимая единица - это что-то более экзотическое.
Если говорить напрямую, то комплексное число - это чуть по-другому записанная пара действительных чисел, и такую форму более проще использовать в различных формулах или выражениях. То есть везде, где можно столкнуться с парами чисел вы скорее всего столкнётесь с комплексными числа, например в 2D графике.
Комплексные числа встречаются и в более фундаментальных вещах, как Общей Теории Относительности, магнитодинамики или квантовой механики. То есть сама природа подразумевает использование таких чисел, что является достаточно сильным аргументом в пользу существования таких чисел.
Да, представить комплексные числа - гораздо сложнее, чем действительные, но это не означает, что таких чисел не существует.
Фух... Большое спасибо за прочтение статьи! Статья получилась сложной, но надеюсь интересной и полезной. Если найдёте какие-то неточности или у вас появятся вопросы, то смело спрашиваете в комментариях, обсудим вместе!
Больше интересного контента каждый день в телеграм канале "Сложно-простая математика".
Подписывайтесь, не забывайте ставить лайки и писать комментарии. Надеюсь, что мы не прощаемся :-3!