Полное условие задачи:
Маятник состоит из маленького груза массой M = 200 г, висящего на легкой нерастяжимой нити длиной L = 100 см. Он висит в состоянии покоя в вертикальном положении. В груз ударяется и прилипает к нему небольшое тело массой m = 100 г, летевшее в горизонтальном направлении. В результате возникает вращение маятника в вертикальной плоскости вокруг его точки подвеса, причем груз маятника все время движется по окружности, делая полный оборот. Какова могла быть скорость тела до удара?
Краткое условие задачи:
Решение задачи:
Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной. Груз и тело в данных условиях можно считать материальными точками. Поскольку все внешние силы, (силы тяжести и натяжения нити) действующие на тела в момент соударения направлены вертикально, то сумма их проекций на горизонтальную ось равна нулю. Значит, в ИСО можно применить закон сохранения импульса.
При дальнейшем движении составного тела на него действует сила тяжести и сила натяжения нити. В ИСО изменение полной механической энергии равно работе всех непотенциальных сил, действующих на тело. В данном случае такой силой является сила натяжения нити (силой сопротивления воздуха можно пренебречь). Поскольку в любой точке траектории сила натяжения нити перпендикулярна скорости составного тела, то ее работа равна нулю, а значит работа всех непотенциальных сил, действующих на тело, также обращается в ноль. Следовательно, в ИСО можно применить закон сохранения энергии для движения составного тела.
В соответствии с законом сохранения горизонтальной проекции импульса на направление движения тела в момент удара имеем:
Отсюда с учетом данных в условии
При дальнейшем движении от положения равновесия до такого отклонения, когда нить примет вертикальное положение с грузом наверху, но будет хотя бы чуть-чуть натянута, сохраняется механическая энергия груза маятника:
где
— высота подъема над положением равновесия груза, подвешенного на нерастяжимой легкой нити длиной L. В предельном случае минимальной скорости движение груза маятника по окружности радиусом L в верхней точке траектории обеспечивается только силой тяжести, а сила натяжения нити равна нулю.
Уравнение вращательного движения груза при этом имеет вид:
откуда
Подставляя полученное значение в закон сохранения энергии и учитывая выражение для начальной скорости V, получаем:
откуда минимальное значение скорости тела равно:
Ответ: скорость тела была не менее 21 м/с.