Формула для вычисления числа сочетаний:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
где:
- C(n, k) - число сочетаний из n элементов по k.
- n - общее количество элементов в множестве.
- k - количество элементов, которые мы выбираем из множества.
- ! - факториал.
Пример 1: Выбор шариков
У нас есть коробка с 10 разноцветными шариками. Сколькими способами можно выбрать 3 шарика?
- Решение:n = 10 (общее количество шариков)
k = 3 (количество выбираемых шариков)
C(10, 3) = 10! / (3! * 7!) = 120 способов
Пример 2: Составление команды
В группе из 15 человек нужно выбрать 5 для участия в соревнованиях. Сколькими способами это можно сделать?
- Решение:n = 15
k = 5
C(15, 5) = 15! / (5! * 10!) = 3003 способа
Пример 3: Лотерея
В лотерее 49 шаров. Чтобы выиграть, нужно угадать 6 номеров. Сколько существует различных комбинаций выигрышных номеров?
- Решение:n = 49
k = 6
C(49, 6) = 49! / (6! * 43!) ≈ 13 983 816 способов
Пример 4: Пицца
В пиццерии предлагается 10 видов начинок. Вы можете выбрать любую комбинацию из 3 начинок. Сколько различных пицц можно заказать?
- Решение:n = 10
k = 3
C(10, 3) = 120 видов пиццы
Пример 5: Пароли
Сколько различных паролей из 8 символов можно составить, если каждый символ может быть любой цифрой от 0 до 9 или любой строчной буквой английского алфавита (всего 36 символов), и если символы в пароле не повторяются?
- Решение:Это задача на размещения без повторений, но можно свести ее к задаче на сочетания. Сначала выбираем 8 позиций из 36 возможных, а затем расставляем выбранные символы по этим позициям.
Число способов выбрать 8 позиций из 36: C(36, 8)
Число способов расставить 8 выбранных символов по 8 позициям: 8!
Итоговое число паролей: C(36, 8) * 8! = 36! / (28!) ≈ 3.04032e+12
Важно:
- При решении комбинаторных задач всегда внимательно читайте условие и обращайте внимание на то, повторяются ли элементы в комбинациях и важен ли порядок элементов.
- Для больших значений n и k расчет факториалов может быть трудоемким. В таких случаях используют специальные алгоритмы и программные инструменты.