Основные методы решения уравнений с корнями:
- Возведение обеих частей уравнения в степень:Если в уравнении есть квадратный корень, то возводя обе части в квадрат, мы избавляемся от корня.
Важно помнить, что при возведении в четную степень могут появиться посторонние корни, поэтому полученные решения необходимо проверять. - Перенос всех членов с корнем в одну часть:Иногда удобнее сначала перенести все члены с корнем в одну часть уравнения, а затем уже возводить в степень.
- Замена переменной:Иногда для упрощения уравнения вводят новую переменную.
- Графический метод:Решение уравнения можно найти графически, построив графики функций, входящих в уравнение.
Пример:
Решим уравнение: √(x+2) = 3
- Возводим обе части в квадрат:(√(x+2))^2 = 3^2 x + 2 = 9
- Решаем получившееся линейное уравнение:x = 9 - 2 x = 7
- Проверка:Подставляем найденное значение x в исходное уравнение:√(7+2) = √9 = 3 Значение подходит, значит, x = 7 - корень уравнения.
Важно:
- ОДЗ (область определения): Не забывайте проверять, при каких значениях переменной выражение под корнем имеет смысл. Например, под корнем четной степени не может стоять отрицательное число.
- Посторонние корни: При возведении в четную степень могут появиться посторонние корни, которые не являются решениями исходного уравнения. Поэтому всегда проверяйте найденные корни подстановкой в исходное уравнение.
Примеры задач, которые вы можете задать:
- √(2x-1) = 5
- √(x^2 - 4) = x - 2
- √(x+1) + √(x-2) = 3