Решение задачи Коши методом Рунге-Кутты

Задача Коши – это задача нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка при заданном начальном условии. Метод Рунге-Кутты – один из наиболее популярных численных методов для приближенного решения таких задач.

Алгоритм метода Рунге-Кутты 4-го порядка

Рассмотрим задачу Коши в общем виде:

y'(x) = f(x, y)
y(x₀) = y₀

где:

• y'(x) - производная функции y(x)
• f(x, y) - некоторая функция от x и y
• x₀, y₀ - начальные условия

Алгоритм метода Рунге-Кутты:

1. Выбор шага: Определите шаг интегрирования h. Чем меньше шаг, тем точнее будет решение, но тем больше вычислений потребуется.
2. Вычисление коэффициентов: На каждом шаге вычисляются коэффициенты k₁, k₂, k₃, k₄ по следующим формулам:k₁ = hf(xₙ, yₙ)
   k₂ = hf(xₙ + h/2, yₙ + k₁/2)
   k₃ = hf(xₙ + h/2, yₙ + k₂/2)
   k₄ = hf(xₙ + h, yₙ + k₃)
   
3. Вычисление следующего значения: Новое значение yₙ₊₁ вычисляется по формуле:yₙ₊₁ = yₙ + (1/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
   
4. Переход к следующей точке: Увеличиваем x на шаг h: xₙ₊₁ = xₙ + h
5. Повторение: Повторяем шаги 2-4 до достижения желаемого значения x.

Пример

Решим задачу Коши:

y'(x) = x + y
y(0) = 1

на отрезке [0, 1] с шагом h = 0,1.

1. Начальные значения: x₀ = 0, y₀ = 1
2. Итерации:
   Для n = 0:k₁ = 0.1 * (0 + 1) = 0.1
   k₂ = 0.1 * (0.05 + 1.05) = 0.11
   k₃ = 0.1 * (0.05 + 1.055) = 0.1105
   k₄ = 0.1 * (0.1 + 1.1105) = 0.12105
   y₁ = 1 + (1/6)(0.1 + 20.11 + 20.1105 + 0.12105) ≈ 1.11034
   И так далее, повторяем вычисления для каждого следующего значения n.
   

Реализация на языке программирования

Метод Рунге-Кутты легко реализовать на любом языке программирования. Например, на Python:

def runge_kutta(f, x0, y0, h, xn):
x = x0
y = y0
while x <= xn:
k1 = h * f(x, y)
k2 = h * f(x + h/2, y + k1/2)
k3 = h * f(x + h/2, y + k2/2)
k4 = h * f(x + h, y + k3)
y = y + (1/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)
x = x + h
print(x, y)

# Пример использования для задачи выше:
f = lambda x, y: x + y
runge_kutta(f, 0, 1, 0.1, 1)

Важные замечания:

• Выбор шага: Чем меньше шаг h, тем точнее результат, но тем больше вычислений требуется.
• Ошибки метода: Метод Рунге-Кутты дает приближенное решение. Ошибка зависит от шага интегрирования и гладкости функции f.
• Другие методы: Существуют и другие методы численного решения задач Коши, например, метод Эйлера, методы Адамса и т.д. Выбор метода зависит от конкретной задачи и требований к точности.