Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге

Постановка задачи

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге формулируется следующим образом:

Найти функцию u(r,θ), удовлетворяющую уравнению Лапласа в полярных координатах:

Δu = ∂²u/∂r² + (1/r)∂u/∂r + (1/r²)∂²u/∂θ² = 0

в круге радиуса R с центром в начале координат, при граничном условии Дирихле:

u(R, θ) = f(θ)

где f(θ) – заданная функция на границе круга.

Метод разделения переменных

Для решения этой задачи применяется метод разделения переменных. Предположим, что решение имеет вид:

u(r, θ) = R(r)Θ(θ)

Подставив это выражение в уравнение Лапласа и разделив переменные, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:

r²R'' + rR' - λR = 0
Θ'' + λΘ = 0

где λ – постоянная разделения.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

• Для уравнения по θ:
  Общее решение имеет вид:Θ(θ) = A cos(√λθ) + B sin(√λθ)
  Из условия периодичности решения по переменной θ (т.к. функции должны быть однозначны на окружности) следует, что λ = n², где n – целое число.
  
  Таким образом, решение для Θ(θ) имеет вид:Θ_n(θ) = A_n cos(nθ) + B_n sin(nθ)
  
• Для уравнения по r:
  Общее решение имеет вид:R(r) = C_n r^n + D_n r^(-n)
  Чтобы решение было ограничено в центре круга (при r = 0), необходимо положить D_n = 0.
  
  Таким образом, решение для R(r) имеет вид:R_n(r) = C_n r^n
  

Общее решение и удовлетворение граничного условия

Общее решение уравнения Лапласа в круге имеет вид:

u(r, θ) = Σ[C_n r^n (A_n cos(nθ) + B_n sin(nθ))]

где суммирование ведется по всем целым неотрицательным значениям n.

Для удовлетворения граничного условия:

u(R, θ) = Σ[C_n R^n (A_n cos(nθ) + B_n sin(nθ))] = f(θ)

необходимо разложить функцию f(θ) в ряд Фурье по косинусам и синусам. Коэффициенты разложения A_n и B_n будут определять коэффициенты C_n в общем решении.

Алгоритм решения

1. Разложить функцию f(θ) в ряд Фурье.
2. Подставить полученные коэффициенты разложения в общее решение.
3. Получить окончательный вид решения задачи Дирихле.

Пример

Пусть f(θ) = sin(2θ). Тогда разложение в ряд Фурье будет содержать только один член:

f(θ) = sin(2θ)

Следовательно, в общем решении останется только одно слагаемое с n = 2:

u(r, θ) = C_2 r^2 sin(2θ)

Из граничного условия находим C_2 и получаем окончательное решение.

Замечания

• Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге находит широкое применение в различных областях физики и техники, например, при решении задач электростатики, теплопроводности и гидродинамики.
• Метод разделения переменных является одним из основных методов решения уравнений в частных производных.
• Для более сложных областей и граничных условий могут потребоваться другие методы решения, например, метод интегральных преобразований или численные методы.