В этой статье речь пойдёт о том, что такое теория
вероятностей и что она изучает. Под словом событие мы с вами будем понимать – любое утверждение о результате опыта, правильность которого возможно проверить. Иногда про события мы можем сказать, что они точно
произойдут, иногда что они точно не произойдут. Но так бывает редко,
чаще всего мы не можем точно утверждать ни одно, ни другое.
Если мы выстрелить по мишени в тире, можно попасть или промахнуться. Заранее сложно предугадать исход. Также, если бросить игральный кубик, не возможно утверждать, что выпадет. Нельзя точно сказать превысит ли
выпавшее количество очков на кубике число 3. В данных возможно только предполагать, что случится.
В жизни мы сталкивались с такими фразами, как вероятность
дождя завтра, вероятность выигрыша в лотерею, орёл и решка
выпадают с вероятностью 50 на 50. Или когда мы бросаем игральный кубик, мы не можем утверждать, что выпадет. Не можем точно сказать превысит ли
выпавшее количество очков на кубике число 3. В данных случаях мы
можем только предполагать, что случится. Все такие события и события им подобные анализирует раздел математики теория вероятностей. Называются они, случайные события.
Теория вероятностей - это область математики, которая изучает случайные события и общие свойства событий, процессов.
В теории вероятностей эксперименты называются опытами, а то что может получиться из этих опытов – исходами.
Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.
Случайное событие не зависит от воли человека, оно происходит
в следствие случайных факторов, воздействие которых предугадать
невозможно или крайне затруднительно.
Важно! Теория вероятностей рассматривает случайные события не сами по себе, а в рамках случайных экспериментов (случайных опытов). Например, говоря о событии «день будет дождливым», требуется указать дату и место, о котором идет речь. Если условия эксперимента не описаны или описаны плохо, то могут возникнуть противоречия и парадоксы.
О случайном событии мы часто не можем сказать заранее, произойдет оно или нет. Но мы можем говорить о шансах наступления этого события.
Правильная игральная кость может с равными шансами упасть любой из шести своих граней вверх. Поэтому шансы выпадения единицы такие же, как и выпадения, например, двойки. В теории вероятностей шанс того, что случайное событие произойдет, выражается числом. Это число называют вероятностью случайного события. Если событие никогда не наступает (его шансы равны нулю), то вероятность этого события полагают равной 0. Такое событие называют невозможным. Если же событие наступает всегда, его вероятность полагают равной 1. Такое событие называют достоверным. Вероятности остальных событий – это числа между 0 и 1. Таким образом, вероятность случайного события – это числовая мера его правдоподобия. Чем больше шансов у такого события произойти, тем выше его вероятность.
Важно! Достоверное и невозможное события тоже являются случайными событиями, несмотря на то, что их вероятности точно известны.
Событие, которое не может произойти, называется невозможным событием.
Событие, которое обязательно произойдёт, называется достоверным событием.
События, которые при данных условиях имеют одинаковые шансы для наступления, называются равновероятными событиями
Если мы подбросим игральный кубик, то он упадет на землю – это достоверное событие. Событие при котором подброшенный кубик зависнет в воздухе, является невозможным. А то, что выпадет один, три или пять – это равновероятные события.
Два возможных исхода – выпадет орел, выпадет решка.
В данном случае у нас возможны следующие
события:
Случайные события: выпал орел; выпала решка.
Достоверные события: выпадет или орел, или решка.
Невозможные события: выпадет одновременно и орел, и решка. Равновероятные события: выпадет или орёл, или решка.
В теории вероятностей события обозначаются большими буквами
латинского алфавита – A, B, C, … Также могут использоваться индексы – А₁, А₂, А₃,...
При броске симметричной монеты шансы выпадения орла и решки нужно считать одинаковыми, поскольку монета симметрична. Поэтому вероятности выпадения орла и решки равны между собой. А так как при броске монеты других исходов быть не может, полагают вероятности этих событий равной 0,5.
Важно! Нельзя доказать, что вероятности орла и решки равны 1/2. Мы сами назначаем эти вероятности, опираясь на симметричность монеты.
Вероятность события А – это отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов.
где P(A) – это вероятность (probabilitas от латинского) события А;
m – число исходов благоприятствующих событию А;
n – общее число исходов.
Исходя из определения, значение вероятности события есть
положительное число, заключенное между 0 и 1.
Свойства вероятности:
Вероятность достоверного события равна 1. P(A) = 1
Вероятность невозможного события равна 0. P(A) = 0
Опыт с однократным подбрасыванием монеты
В случайном эксперименте симметричную монету бросают один раз. Событие О – выпал орёл. m=1, число благоприятствующих исходов n=2, общее число исходов.
Рассмотрим опыт с подбрасыванием монеты. В результате 100 подбрасываний
орел выпал 51 раз, решка 49. Тогда отношение числа тех опытов, в которых
выпал герб, к общему числу проведенных опытов в данном случае равно
Число 51 будет называться частотой данного события.
Число 0,51 будет называться относительной частотой события.
Частота события – это число,показывающее сколько раз в испытании произошло это событие.
Относительная частота события – это отношение числа испытаний, в которых
событие появилось, к общему числу практически произведенных испытания
где m – частота события, n – число всех испытаний.
И последнее.
События, которые имеют почти нулевую вероятность называются маловероятными.