В первой статье мы рассмотрели «предысторию» Теории Множеств. Во второй мы рассмотрели, как в ней определяется одно из основных понятий математики - функция. В третьей статье мы рассмотрели, как Теория Множеств реализует бесконечность. Но теперь мы подошли к заключительной, четвёртой статье цикла, где мы рассмотрим, почему та Теория Множеств, которую сформулировал Георг Кантор, обрела название Наивной. Мы рассмотрим, как Математический Атлант расправил плечи, уронив небосвод оснований математики…
ПЕРВЫЙ ПАРАДОКС. ПАРАДОКС КАНТОРА.
На деле, парадокс Кантора не был первым, который «предъявили» Наивной Теории Множеств. Первым был парадокс Бурали-Форти, который связан с определением натуральных чисел при помощи Наивной Теории Множеств. Но данная тема настолько интересная, что я лучше напишу отдельную статью по теме.
Итак, парадокс Кантора был выдвинут основателем Наивной Теории Множеств, Георгом Кантором, в 1899 году. Парадокс заключается в противоречивости существования объекта под названием Универсум.
Итак, УНИВЕРСУМ U - это множество, содержащее все множества, то есть U = {A | A - множество}. Можно заметить, что «A - множество» это вполне простое и понятное логическое правило, которое допускается Наивной Теорией Множеств, а значит мы можем определить U. Мы помним из теоремы Кантора, что для любого множества A верно, что |A| < |P(A)|, то есть мощность A всегда СТРОГО МЕНЬШЕ, чем мощность множества всех возможных подмножеств A. Вспомним, также, что если A ⊆ B, то |A| ≤ |B|, поскольку существует инъекция в виде функции идентичности i: A → B, i(x) = x.
Итак, теперь рассмотрим упомянутый выше универсум U и его булеан P(U). По определению, булеан P(U) - это множество, состоящее из всех возможных подмножеств U. Но ведь, какой бы состав не имел бы P(U), все его элементы - множества, ведь и все элементы U - множества. Поскольку U - множество ВСЕХ множеств, можно с уверенностью провести цепочку: «A - элемент P(U)» → «A - множество» → «A - элемент U». Всё вместе нам даёт вывод, что если некий элемент имеется в P(U), то он имеется и в U, а значит, по определению, P(U) ⊆ U! Но ведь тогда |P(U)| ≤ U, хотя по теореме Кантора имеем |P(U)| > U! Противоречие!
Но в чём именно противоречие? Почему это противоречие не распространяется только на противоречивость Универсума, но на всю Наивную Теорию Множеств? Дело в том, что теорема Кантора имеет вид «(A - множество) → (|A| < P(A))», то есть идёт импликация между тем, что A - множество и утверждением теоремы. Парадокс Кантора же имеет вид «(U - множество) → (|U| < |P(U)|) ^ (|U| ≥ |P(U)|)». Однако, в соответствие с тем, что утверждение «a ^ (не a)» всегда ложно, мы имеем, что «(|U| < |P(U)|) ^ (|U| ≥ |P(U)|)» всегда ложно, а значит истинная импликация (по теореме Кантора) может быть таковой только если утверждение «U - множество» ложно, то есть, если U - это не множество.
Заметим, что, грубо говоря, в Наивной Теории Множеств верно, что «(A - совокупность, состоящая из всех тех и только тех объектов, удовлетворяющих определённому логическому выражению) ⇔ (A - множество)», ведь это буквально определение множества. Но если U - не множество, то первая часть утверждения тоже должна быть ложна! При этом U - совокупность, состоящая из всех тех и только тех объектов, удовлетворяющих определённому логическому выражению, то есть первая часть утверждения должна быть ложна! То есть, мы получаем противоречие одному из основных законов логики!
Последний абзац показывает, что если определение множества из Наивной Теории противоречиво, то это определение ложно, а значит и Наивная Теория Множеств несостоятельна! Этот молниеносный парадокс показывает, что определение множества, лежащее в самом основании Наивной Теории Множества, ложно.
Данный парадокс Кантор рассмотрел в одной из своих переписок и, в целом, парадокс лишь вызвал необходимость уточнения Наивной Теории Множеств, но не полного пересмотра Теории.
ОКОНЧАТЕЛЬНОЕ ПАДЕНИЕ. ПАРАДОКС БРАДОБРЕЯ. ПАРАДОКС РАССЕЛА.
У меня уже выходила отдельная статья про парадокс лжеца и его вариации, в том числе про парадокс брадобрея (или цирюльника) и парадокс Рассела, оба имеющие своим автором Бертрана Рассела.
Рассмотрим сначала парадокс цирюльника: «В городе жил только один цирюльник. Он брил всех тех, кто не брился сам, и только их. Брил ли цирюльник себя?». Если он не брился сам, то он должен брить себя, что противоречиво. Но тогда он брился сам и не должен брить себя, что также противоречиво. Значит такого цирюльника быть не может, ведь его существование противоречиво. Но условие парадокса говорит, что такой цирюльник должен быть. Опять противоречие.
По сути, парадокс имеет структуру «(С → (Б ^ не Б)) ^ C», где C - такой цирюльник существует, и Б - цирюльник бреет себя. Парадоксом, с точки зрения логики, это является из-за того, что какие-бы мы значения C и Б не выбрали, утверждение всегда будет ложно.
Однако важно заметить, что парадокс разрешается, если мы уберём первое предложение и получим: «Цирюльник брил всех тех, кто не брился сам, и только их. Брил ли цирюльник себя?». Тогда парадокс принимает вид «С → (Б ^ не Б)», где имеет решение только тогда, когда C ложно, то есть когда такого цирюльника не существует.
Теперь же перейдём к самому парадоксу Рассела, уже напрямую относящемуся к Наивной Теории Множеств. Итак, парадокс имеет следующий вид: «Любые множества, определённые логическим правилом, существуют. Пусть множество A необычно, если A ∈ A, и обычно, если A ∉ A. Пусть B = {A | A - обычное}. Будет ли множество B необычным?». Если множество B необычно, то B ∉ B, то есть B обычно, что противоречиво. Если B обычно, то B ∈ B, и B необычно, что тоже противоречиво. Значит существование B ведёт к противоречию. Значит B не должно существовать. Но оно должно существовать по определению множества. Парадокс.
Структура парадокса Рассела идентична структуре парадокса цирюльника: «(С → (О ^ не О)) ^ С», где О - обычность множества B. Причём, такие суждения мы можем построить исключительно из-за того, как мы определяем множество. Именно то, как мы определяем множество, «сковывает» нас и не даёт разрешить парадокс тем, что такого множества B просто не существует - оно ведь задано простым логическим правилом!
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Наивная Теория Множеств не смогла устоять под напором справедливой критики. Два основных парадокса, которые мы обозначили в данной статье, упираются исключительно в факт того, как мы определяем само множество: «Совокупность объектов любой природы, заданная любым логическим правилом». Если переформулировать или заменить это основное определение, то парадоксы должны решиться. Решили ли их?
Наивная Теория Множеств имеет много разных «наследников» в качестве основания математики. Многие математики пытались уточнить или изменить аксиомы, основные понятия, лежащие в фундаменте Теории Множеств. Такие варианты назвали Аксиоматической Теорией Множеств. Эти аксиоматики имеют свои преимущества и недостатки. Некоторые теории в основаниях математики вполне отошли от Теории Множеств - Теория Типов и Теория Категорий тому примеры. От единства в Наивной Теории Множеств конца XIX века в наше время математика пришла к разнообразию формулировок своих оснований.
Я ещё не изучал и не приступал к изучению какой-либо «теории-наследницы», но когда я приступлю, я обязательно сделаю статью и про это. Благодарю всех за внимание и за то, что вы дочитали мой первый цикл статей до конца.