ТЕОРИЯ ВСЕГО.
Физика и математика - прочно связанные науки. Иногда физика подталкивала математику, как было с историей становления Математического Анализа на фоне исследований Ньютона. Иногда было и наоборот, ведь когда дело доходило до практически любых нужд Теоретической Физики, требовалась математика, зачастую довольно сложная.
К чему это. Любая наука, будь то естественная или гуманитарная, рано или поздно желает сформировать полумифическую «Теорию Всего», которая могла бы в своих рамках описать всю сферу знания. Для биологии такой Теорией можно условно назвать Клеточную Теорию, и то с натяжкой. Для обществознания такая теория не была ещё найдена. Ультимативной же естественной наукой является физика, поэтому Теория Всего для физики - Теория Всего для всех естественных наук. Таковой Теорией долгое время была Механика Ньютона, но в начале XX века ей на смену пришла Специальная, а потом и Общая Теория Относительности Эйнштейна. Однако в середине XX века, на основе, к слову, идей Эйнштейна о фотоэффекте, появилась Квантовая Механика. И эти две «Теории Всего» никак не могут объединить до сих пор, ведь Квантовая Механика не поддерживает явление гравитации, а Общая Теория Относительности - существование безразмерных частиц. Настоящая Теория Всего для физики до сих пор не найдена.
Математика, будучи наукой, тоже пережила период, когда казалось, что найдена Теория Всего. Этот математический Атлант, Титан науки был сформулирован Георгом Кантором примерно в 1880 году. Особенностью определений Кантора было то, что они не требовали практически никаких концепций математики, кроме логики (что соответствовало превосходящему тогда течению Логицизма). Этим Атлантом была Теория Множеств.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ.
Мы рассмотрим Теорию Множеств, приближенную к версии Кантора. Итак, введём основные понятия:
МНОЖЕСТВО - Совокупность объектов любой природы - ЭЛЕМЕНТОВ МНОЖЕСТВА, задаваемая любым логическим правилом. Точнее, множество - совокупность ВСЕХ ТЕХ И ТОЛЬКО ТЕХ объектов, которые отвечают логическому правилу. Обычно множества обозначают заглавными латинскими буквами: A, B, C и так далее. Имеются и заранее определённые обозначения для числовых множеств: ℕ (Натуральные числа), ℤ (Целые числа), ℚ (Рациональные числа), ℝ (Действительные числа), ℂ (Комплексные числа).
Объект ПРИНАДЛЕЖИТ множеству, если он является его элементом. Если объект x принадлежит множеству X записывают «x ∈ X». Если элемент x не принадлежит множеству X записывают «x ∉ X».
Например, пусть B - множество всех стульев в школе. Тогда можно смело сказать, что стул b из кабинета 3 за первой партой первого ряда является элементом множества B, поскольку отвечает правилу «b - стул в школе», то есть b ∈ B. Но и стул h из кабинета 13 за последней партой второго ряда тоже отвечает правилу «h - стул в школе», поэтому также h ∈ B. Но пусть c - мой кот. Очевидно, неверно, что «с - стул в школе», поэтому c ∉ B.
Множество A называют ПОДМНОЖЕСТВОМ множества B, если множество A не содержит элементов, которые также не являются элементами B. Для таких случаев записывают «A ⊆ B». Если же множество D содержит хотя бы один элемент, который не является элементом B, то записывают «D ⊄ B».
Продолжая аналогию, пусть множество H - множество всех стульев из кабинета 3 выше упомянутой школы. Логично, что если для стула b верно «b - стул в кабинете 3», то для стула b верно и «b - стул в школе». В целом, можно сказать: «любой стул в кабинете 3 ещё и стул в школе» - поэтому H ⊆ B. Но пусть, например, V - множество всех стульев в кабинете 13. Очевидно, V содержит хотя бы один стул, который не содержится в H, поэтому V ⊄ H.
Говорят, что множества A и B РАВНЫ, если они содержат одинаковые элементы и никакие другие. В таком случае пишут «A = B». Если же набор элементов в множестве D отличается от набора в множестве B, то пишут «D ≠ B».
Например, пусть G - множество всех отличников России, а S - множество всех учащихся России, обычно получающих оценки больше «4». Нетрудно заметить, что имеется только одна оценка выше «4» - это «5», определяющая, что ученик отличник. То есть, поскольку логические правила в таком случае означают одно и то же, имеем G = S.
ПУСТЫМ МНОЖЕСТВОМ называют множество, не содержащее никаких элементов. Оно особенное и для него припасли отдельный символ - ∅. Важно отметить, что для любого множества A верно ∅ ⊆ A, ведь пустое множество не содержит элементов, которые отсутствуют в A (пустое множество вообще ничего не содержит).
Пусть, например, L - множество всех пингвинов, умеющих летать. Очевидно, таких пингвинов не существует, поэтому никакой объект не является элементом L, а значит L = ∅.
ОПЕРАЦИИ СО МНОЖЕСТВАМИ
Теперь, зная что такое множества, мы введём и основные действия с ними.
ОБЪЕДИНЕНИЕМ множеств A и B называется множество, содержащее все те и только те объекты, которые являются элементами хотя бы одного из множеств. Объединение множеств A и B обозначается A⋃B.
Возвращаясь к нашим стульям, объединением H⋃V является множество стульев, находящихся в кабинете 3 или кабинете 13.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕМ множеств A и B называется множество, содержащее все те и только те объекты, которые есть и в A, и в B. Пересечение множеств A и B обозначается A⋂B.
Пусть, например, M - множество всех млекопитающих, а E - множество всех животных, откладывающих яйца. Тогда пересечением M⋂E будет множество всех утконосов, поскольку только они входят сразу в оба множества. Курица, например, не войдёт в M⋂E, ведь она не млекопитающее.
РАЗНОСТЬЮ множества A и B называется множество, содержащее все те и только те объекты, которые есть в A и отсутствуют в B. Такое множество обозначается A - B или A \ B.
Например, обращаясь к множествам животных, разностью M \ E является множество всех млекопитающих, которые не откладывают яйца, то есть, в целом, всех млекопитающих, кроме утконосов.
Для следующего действия следует ввести ещё один термин. УНИВЕРСАЛЬНЫМ МНОЖЕСТВОМ называется некое множество, в контексте которого мы рассматриваем множество A. Универсальное множество обычно обозначается 𝕌.
Итак, ДОПОЛНЕНИЕМ множества A до множества 𝕌 называют множество, содержащее все те и только те элементы, которые не содержатся в A и содержатся в 𝕌. Обычно дополнение множества A обозначают Ā.
Например, пусть 𝕌 в контексте животных - множество всех животных. Тогда дополнением M до 𝕌 (я не нашёл нужный символ для M) будет множество всех животных, которые не млекопитающие.
В целом, с множествами можно совершить ещё две операции, но они настолько интересны, что им будут отведены отдельные секции в третьей статье цикла.
Также введём несколько фактов, которые достаточно полезны. Предоставлю читателю самому подумать, почему они верны:
- Если A ⊆ B, то A⋂B = A
- Если A ⊆ B, то и A⋃B = B
- Если A ⊆ B, то и A\B = ∅
- Если 𝕌 - универсальное множество в контексте A, то 𝕌\A = Ā
- Если 𝕌 - универсальное множество в контексте A, то A⋃Ā = 𝕌
- Если 𝕌 - универсальное множество в контексте A, то A⋂Ā = ∅
Благодарю всех за внимание! В следующей статье мы рассмотрим сущность функции и отношения с точки зрения Теории Множеств.