Постановка задачи:
Рассмотрим следующую начально-краевую задачу для волнового уравнения на отрезке:
u_tt = a^2 * u_xx, 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = φ(x)
u_t(x, 0) = ψ(x)
u(0, t) = u(l, t) = 0
Здесь:
- u(x, t) - искомая функция, описывающая смещение точки с координатой x в момент времени t
- a - постоянная скорость распространения волны
- φ(x) и ψ(x) - заданные начальные функции, описывающие начальное смещение и начальную скорость соответственно
- l - длина отрезка
Метод решения:
Для решения этой задачи применяется метод разделения переменных. Предположим, что решение имеет вид:
u(x, t) = X(x)T(t)
Подставив это выражение в уравнение и разделив переменные, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:
X''(x) / X(x) = T''(t) / (a^2 * T(t)) = -λ
Здесь λ - постоянная разделения.
Решая эти уравнения, получаем:
X(x) = A*cos(sqrt(λ)x) + B*sin(sqrt(λ)x)
T(t) = C*cos(a*sqrt(λ)t) + D*sin(a*sqrt(λ)t)
Из граничных условий u(0, t) = u(l, t) = 0 следует, что A = 0 и sqrt(λ) = nπ/l, где n - натуральное число.
Таким образом, общее решение имеет вид:
u(x, t) = Σ[Bn*sin(nπx/l)*(Cn*cos(anπt/l) + Dn*sin(anπt/l))]
Определение коэффициентов:
Коэффициенты Bn, Cn и Dn определяются из начальных условий:
φ(x) = Σ[Bn*sin(nπx/l)*Cn]
ψ(x) = Σ[Bn*sin(nπx/l)*(anπ/l)*Dn]
Эти равенства представляют собой разложения функций φ(x) и ψ(x) в ряды Фурье по синусам. Коэффициенты Bn, Cn и Dn находятся с помощью формул для коэффициентов Фурье.
Физический смысл решения:
Полученное решение представляет собой суперпозицию бесконечного числа гармонических колебаний с различными частотами и амплитудами. Каждая гармоника соответствует стоячей волне с узлами в точках x = 0 и x = l. Начальные условия φ(x) и ψ(x) определяют амплитуды и фазы этих колебаний.
Важные замечания:
- Сходимость ряда: Ряд Фурье сходится к функции φ(x) и ее производной ψ(x) при некоторых условиях на гладкость этих функций.
- Уникальность решения: При выполнении определенных условий на функции φ(x) и ψ(x) решение задачи является единственным.
- Физическая интерпретация: Решение описывает колебания струны, закрепленной на концах.
Пример:
Рассмотрим конкретный пример, когда φ(x) = sin(πx/l) и ψ(x) = 0. В этом случае решение будет иметь вид:
u(x, t) = sin(πx/l)*cos(aπt/l)
Это соответствует колебанию струны с одной полуволной.
Дополнительные замечания:
- Обобщения: Задача может быть обобщена на случай неоднородных краевых условий и неоднородного уравнения.
- Численные методы: Для решения задачи в случае сложных начальных условий и неоднородностей могут применяться численные методы.