Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке

Постановка задачи:

Рассмотрим следующую начально-краевую задачу для волнового уравнения на отрезке:

u_tt = a^2 * u_xx, 0 < x < l, t > 0
u(x, 0) = φ(x)
u_t(x, 0) = ψ(x)
u(0, t) = u(l, t) = 0

Здесь:

• u(x, t) - искомая функция, описывающая смещение точки с координатой x в момент времени t
• a - постоянная скорость распространения волны
• φ(x) и ψ(x) - заданные начальные функции, описывающие начальное смещение и начальную скорость соответственно
• l - длина отрезка

Метод решения:

Для решения этой задачи применяется метод разделения переменных. Предположим, что решение имеет вид:

u(x, t) = X(x)T(t)

Подставив это выражение в уравнение и разделив переменные, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:

X''(x) / X(x) = T''(t) / (a^2 * T(t)) = -λ

Здесь λ - постоянная разделения.

Решая эти уравнения, получаем:

X(x) = A*cos(sqrt(λ)x) + B*sin(sqrt(λ)x)
T(t) = C*cos(a*sqrt(λ)t) + D*sin(a*sqrt(λ)t)

Из граничных условий u(0, t) = u(l, t) = 0 следует, что A = 0 и sqrt(λ) = nπ/l, где n - натуральное число.

Таким образом, общее решение имеет вид:

u(x, t) = Σ[Bn*sin(nπx/l)*(Cn*cos(anπt/l) + Dn*sin(anπt/l))]

Определение коэффициентов:

Коэффициенты Bn, Cn и Dn определяются из начальных условий:

φ(x) = Σ[Bn*sin(nπx/l)*Cn]
ψ(x) = Σ[Bn*sin(nπx/l)*(anπ/l)*Dn]

Эти равенства представляют собой разложения функций φ(x) и ψ(x) в ряды Фурье по синусам. Коэффициенты Bn, Cn и Dn находятся с помощью формул для коэффициентов Фурье.

Физический смысл решения:

Полученное решение представляет собой суперпозицию бесконечного числа гармонических колебаний с различными частотами и амплитудами. Каждая гармоника соответствует стоячей волне с узлами в точках x = 0 и x = l. Начальные условия φ(x) и ψ(x) определяют амплитуды и фазы этих колебаний.

Важные замечания:

• Сходимость ряда: Ряд Фурье сходится к функции φ(x) и ее производной ψ(x) при некоторых условиях на гладкость этих функций.
• Уникальность решения: При выполнении определенных условий на функции φ(x) и ψ(x) решение задачи является единственным.
• Физическая интерпретация: Решение описывает колебания струны, закрепленной на концах.

Пример:

Рассмотрим конкретный пример, когда φ(x) = sin(πx/l) и ψ(x) = 0. В этом случае решение будет иметь вид:

u(x, t) = sin(πx/l)*cos(aπt/l)

Это соответствует колебанию струны с одной полуволной.

Дополнительные замечания:

• Обобщения: Задача может быть обобщена на случай неоднородных краевых условий и неоднородного уравнения.
• Численные методы: Для решения задачи в случае сложных начальных условий и неоднородностей могут применяться численные методы.