Динамическое программирование – это мощный метод оптимизации, который применяется для решения задач, обладающих свойствами оптимальной подструктуры и перекрывающимися подзадачами. Задача: Дана последовательность чисел. Найти длину наибольшей возрастающей подпоследовательности. Решение: Псевдокод: for i in range(1, n):
for j in range(i):
if nums[j] < nums[i]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1) Преимущества динамического программирования:
Динамическое программирование – это мощный метод оптимизации, который применяется для решения задач, обладающих свойствами оптимальной подструктуры и перекрывающимися подзадачами. Задача: Дана последовательность чисел. Найти длину наибольшей возрастающей подпоследовательности. Решение: Псевдокод: for i in range(1, n):
for j in range(i):
if nums[j] < nums[i]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1) Преимущества динамического программирования:
...Читать далее
Оглавление
Динамическое программирование – это мощный метод оптимизации, который применяется для решения задач, обладающих свойствами оптимальной подструктуры и перекрывающимися подзадачами.
Классические задачи, решаемые методом динамического программирования:
- Задача о рюкзаке: Определение набора предметов с максимальной общей ценностью, который можно поместить в рюкзак ограниченной вместимости.
- Наибольшая возрастающая подпоследовательность: Поиск самой длинной строго возрастающей подпоследовательности в данной последовательности.
- Редактирование расстояния: Вычисление минимального числа операций (вставки, удаления, замены), необходимых для преобразования одной строки в другую.
- Задача о коммивояжере: Поиск кратчайшего маршрута, проходящего через все города ровно по одному разу и возвращающегося в исходный город.
- Задача о размене: Определение минимального количества монет для представления заданной суммы.
- Задача о наибольшей общей подпоследовательности: Поиск самой длинной подпоследовательности, общей для двух заданных последовательностей.
Признаки задач, подходящих для решения методом динамического программирования:
- Оптимальная подструктура: Оптимальное решение задачи может быть составлено из оптимальных решений ее подзадач.
- Перекрывающиеся подзадачи: Подзадачи повторно используются в вычислении решения исходной задачи.
- Подзадачи могут быть решены независимо: Решение одной подзадачи не влияет на решение других.
Основная идея метода
- Создание таблицы: Строится таблица, в которой хранятся решения подзадач.
- Заполнение таблицы снизу вверх: Подзадачи решаются в определенном порядке, начиная с самых маленьких.
- Использование результатов предыдущих вычислений: Решение текущей подзадачи вычисляется на основе уже найденных решений более мелких подзадач.
Пример: Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности
Задача: Дана последовательность чисел. Найти длину наибольшей возрастающей подпоследовательности.
Решение:
- Создаем массив dp, где dp[i] будет хранить длину наибольшей возрастающей подпоследовательности, заканчивающейся на элементе с индексом i.
- Инициализируем все элементы dp единицами, так как каждый элемент сам по себе является возрастающей подпоследовательностью длины 1.
- Проходим по последовательности и для каждого элемента i ищем максимальное значение dp[j], где j < i и nums[j] < nums[i]. Это означает, что мы можем добавить текущий элемент к наибольшей возрастающей подпоследовательности, заканчивающейся на элементе с индексом j.
- Обновляем dp[i] значением max(dp[i], dp[j] + 1).
Псевдокод:
for i in range(1, n):
for j in range(i):
if nums[j] < nums[i]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
Преимущества динамического программирования:
- Эффективность: Позволяет решать сложные задачи за полиномиальное время.
- Структурированность: Предоставляет ясный и систематический подход к решению задач.
- Широкая область применения: Применяется в различных областях, от алгоритмической оптимизации до биоинформатики.